反同型性

数学において、反準同型写像とは、乗法を持つ集合上で定義される関数の一種で、乗法の順序を反転させるものです。反自己同型写像​​とは、集合から集合自身への可逆な反準同型写像、すなわち反同型写像のことです。全単射性から、反自己同型写像​​には逆写像が存在し、反自己同型写像​​の逆写像もまた反自己同型写像​​であることが導かれます。

非公式には、反同型写像は乗算の順序を入れ替える写像である。正式には、構造間の反同型写像は${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$準同型写像$\displaystyle \phi \colon X\to Y^{\text{op}}}$、 どこ${\displaystyle Y^{\text{op}}}$等しい${\displaystyle Y}$セットとして、ただし乗算はで定義されたものと逆になっている${\displaystyle Y}$（一般に非可換な）乗法を表す。${\displaystyle Y}$による${\displaystyle \cdot }$乗算${\displaystyle Y^{\text{op}}}$、で示される${\displaystyle *}$は、によって定義されます。${\displaystyle x*y:=y\cdot x}$対象物${\displaystyle Y^{\text{op}}}$反対の物体と呼ばれる${\displaystyle Y}$（それぞれ、反対群、反対代数、反対カテゴリーなど）。

この定義は準同型の定義と同等である${\displaystyle \phi \colon X^{\text{op}}\to Y}$（マップを適用する前または後に操作を反転させることは同等です）。正式には、送信します。${\displaystyle X}$に${\displaystyle X^{\text{op}}}$そして、マップ上で恒等写像として作用するのは関手（実際には対合）である。

群論では、反同型写像は、乗法の順序を反転させる2つの群間の写像です。したがって、φ  : X → Yが群反同型写像である場合、

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

Xのすべてのx、yについて。

xをx ⁻¹に写像する写像は、群反自己同型の一例です。もう一つの重要な例は、線形代数における転置演算で、これは行ベクトルを列ベクトルに変換します。任意のベクトル・行列方程式は、因数の順序が逆になった同等の方程式に転置することができます。

行列の場合、反自己同型の例は転置写像によって与えられます。反転と転置はどちらも反自己同型を与えるため、それらの合成は自己同型になります。この対合はしばしば反比例写像と呼ばれ、一般線形群GL( n , F )の外部自己同型の例を提供します。ただし、| F | = 2かつn = 1 または 2、あるいは| F | = 3かつn = 1の場合(つまり、群GL(1, 2)、GL(2, 2)、およびGL(1, 3)の場合) は除きます。

環論において、反準同型写像とは、2つの環の間で加算の順序は保持するが乗算の順序を反転させる写像のことである。したがって、φ  : X → Yが環反準同型写像となるのは、以下の条件を満たす場合に限る。

φ (1) = 1

φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )

φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )

すべてのx、y ∈ Xに対して。^{[ 1 ]}

体K上の代数 では、φ は基礎となるベクトル空間のK線形写像でなければなりません。基礎となる体が対合を持つ場合、代わりにφを共役線形写像とすることができます。これは、後述する共役転置の場合と同様です。

ソースXまたはターゲットYが可換である場合、反準同型写像は準同型写像と同じである。

2つの反準同型写像の合成は常に準同型写像となる。なぜなら、順序を2回反転させても順序は保持されるからである。反準同型写像と準同型写像の合成は、別の反準同型写像を与える。

• 対合を持つ半群