二重規範

関数解析において、双対ノルムは、ノルム付きベクトル空間上で定義された連続 線形関数のサイズの尺度です。

をノルムを持つノルム付きベクトル空間とし、をその連続双対空間とする。に属する連続線型関数の双対ノルムは、 ^[1]で以下の同値な式のいずれかによって 定義される非負の実数である。 ここで、 と はそれぞれ上限 と下限 を表す。定数写像はベクトル空間の原点であり、常にノルムを持つ。の 場合、 上の唯一の線型関数は定数写像であり、さらに、最後の2行の集合は両方とも空になり、その結果、それらの上限はの正しい値ではなく等しくなる。${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X^{*}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\|f\|&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|\leq 1~&&~{\text{ かつ }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|<1~&&~{\text{ かつ }}~&&x\in X\}\\&=\inf &&\{\,c\in [0,\infty )&&~:~|f(x)|\leq c\|x\|~&&~{\text{ すべての }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1{\text{ または }}0~&&~{\text{ かつ }}~&&x\in X\}\\&=\sup &&\{\,|f(x)|&&~:~\|x\|=1~&&~{\text{ かつ }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ この等式は、}}X\neq \{0\} の場合にのみ成立します\\&=\sup &&{\bigg \{}\,{\frac {|f(x)|}{\|x\|}}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ かつ }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ この等式は、}}X\neq \{0\} の場合にのみ成立します\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \sup}$${\displaystyle \inf}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \|0\|=0.}$${\displaystyle X=\{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }$${\displaystyle 0.}$

重要なのは、一般に線型関数は閉単位球上でノルムを達成することが保証されていないということであり、つまり、 となるようなノルムのベクトルは存在しない可能性がある（そのようなベクトルが存在し、 であれば は必ず単位ノルムを持つ）。RC ジェームズは1964 年にジェームズの定理を証明した。これは、バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、すべての有界線型関数が閉単位球上でノルムを達成することであると述べている。 ^[2] 特に、すべての非反射バナッハ空間には、閉単位球上でノルムを達成しない何らかの有界線型関数が存在することになる。しかし、ビショップ・フェルプスの定理は、バナッハ空間の単位球上でノルムを達成する有界線型関数の集合が、連続双対空間のノルム稠密な部分集合であることを保証する。^{[3] [4]}${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f\|=\sup\{|fx|:\|x\|\leq 1,x\in X\}}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\},}$${\displaystyle u\in X}$${\displaystyle \|u\|\leq 1}$${\displaystyle \|f\|=|fu|}$${\displaystyle f\neq 0,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle f\in X^{*}}$

写像は上のノルムを定義します(以下の定理 1 と 2 を参照)。双対ノルムは、ノルム付きベクトル空間間の各 (有界) 線型写像に対して定義される演算子ノルムの特殊なケースです。 (または)の基底体は完備なので、はバナッハ空間です。によって誘導される上の位相は、 上の弱*位相よりも強いことがわかります。${\displaystyle f\mapsto \|f\|}$${\displaystyle X^{*}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X^{*}.}$

の二重双対（または第2の双対）は、ノルムベクトル空間の双対です。自然な写像が存在します。実際、 の各 に対して、次のように定義します。 ${\displaystyle X^{**}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \varphi :X\to X^{**}}$${\displaystyle w^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$$${\displaystyle \varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).}$$

写像は線型、単射、距離保存である。^[5]特に、が完備（すなわちバナッハ空間）であれば、はの閉部分空間への等長写像である。^[6]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X^{**}}$

一般に、写像は射影的ではありません。たとえば、が実数直線上の最大ノルムを持つ有界関数からなるバナッハ空間である場合、写像は射影的ではありません。(空間 を参照) が射影的である場合、 は反射バナッハ空間であると言われます。である場合、空間は反射バナッハ空間です。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1<p<\infty ,}$${\displaystyle L^{p}}$

のによって定義される フロベニウスノルムは 自己双対である。すなわち、その双対ノルムは$${\displaystyle \|A\|_{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}$$${\displaystyle \|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.}$

のスペクトルノルム は、のときの誘導ノルムの特殊なケース行列の 最大特異値特異値を表す 任意の行列に対してによって 定義される核ノルムをその双対ノルムとして持ちます ^{[出典が必要]}。 ${\displaystyle p=2}$$${\displaystyle \|A\|_{2}=\sigma _{\max }(A),}$$$${\displaystyle \|B\|'_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle \sigma _{i}(B)}$

行列の SchattenノルムがSchatten ノルムと双対である場合。 ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$

を 上のノルムとすると、関連する双対ノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \|\cdot \|_{*},}$$${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{z^{\intercal }x:\|x\|\leq 1\}.}$$

(これはノルムであることが示せます。) 双対ノルムは、の演算子ノルムをのノルム、 の絶対値を持つ行列として解釈すると解釈できます。 ${\displaystyle z^{\intercal },}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \|z\|_{*}=\sup\{|z^{\intercal }x|:\|x\|\leq 1\}.}$$

双対ノルムの定義から、 すべてに対して成り立つ不等式が得られます。^[7]双対ノルムの双対は元のノルムです。すべてに対して成り立ちます（これは無限次元ベクトル空間では成立するとは限りません。） $${\displaystyle z^{\intercal }x=\|x\|\left(z^{\intercal }{\frac {x}{\|x\|}}\right)\leq \|x\|\|z\|_{*}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle z.}$${\displaystyle \|x\|_{**}=\|x\|}$${\displaystyle x.}$

ユークリッドノルムの双対はユークリッドノルムである。 $${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{2}\leq 1\}=\|z\|_{2}.}$$

（これはコーシー・シュワルツの不等式に従う。 がゼロでない場合にを最大化するの値は である。） ${\displaystyle z,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z^{\intercal }x}$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq 1}$${\displaystyle {\tfrac {z}{\|z\|_{2}}}.}$

-ノルムの双対は-ノルムです。 また、-ノルムの双対は-ノルムです。 ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$$${\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x:\|x\|_{\infty }\leq 1\}=\sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=\|z\|_{1},}$$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

より一般的には、ヘルダーの不等式は、 -ノルムの双対が-ノルムであり、ここでがを満たすことを示している。${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}.}$

別の例として、 の- またはスペクトルノルムを考えてみましょう。関連する双対ノルムは であり 、これは特異値の和であることがわかります 。 ここで、このノルムは${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}$$${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sup\{\mathbf {tr} (Z^{\intercal }X):\|X\|_{2}\leq 1\},}$$$${\displaystyle \|Z\|_{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}(Z)=\mathbf {tr} ({\sqrt {Z^{\intercal }Z}}),}$$${\displaystyle r=\mathbf {rank} Z.}$核規範^[8]

pの場合、ベクトルの-ノルム（-ノルムとも呼ばれる）は ${\displaystyle p\in [1,\infty ],}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n}}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}~:=~\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

が満たされる場合、およびノルムは互いに双対であり、およびノルムについても同様です。ここで、は何らかの測度空間です。特に、ユークリッドノルムは、 であるため自己双対です。 の場合、双対ノルムは正定値です。 ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$${\displaystyle 1/p+1/q=1}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{q}}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$${\displaystyle p=q=2.}$${\displaystyle {\sqrt {x^{\mathrm {T} }Qx}}}$${\displaystyle {\sqrt {y^{\mathrm {T} }Q^{-1}y}}}$${\displaystyle Q}$

ノルムは、すべてのベクトルに対して、正準内積によって誘導される。この内積は、分極恒等式を使用してノルムで表現できる。これについて、${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$ユークリッド内積は で定義されますが 二乗可積分関数からなる測度空間に関連付けられた 空間 の場合、この内積は です。 および の連続双対空間のノルムは分極恒等式を満たすため、これらの双対ノルムを使用して内積を定義できます。 この内積により、この双対空間はヒルベルト空間。 $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}x_{n}{\overline {y_{n}}}}$$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

ノルムベクトル空間が与えられ 、^[9]を から へのすべての有界線型写像（または演算子）の集合とすると、標準ノルムを与えることができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle L(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle L(X,Y)}$

がスカラー場（つまりまたは）のとき、 はの双対空間である。${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X.}$

いつものように、上のノルムによって誘導される標準計量を で表し、点から部分集合までの距離を で表す。 がノルム空間上の有界線型汎関数である 場合、任意のベクトル^[17] に対して、は${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S\subseteq X}$$${\displaystyle d(x,S)~:=~\inf _{s\in S}d(x,s)~=~\inf _{s\in S}\|x-s\|.}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle |f(x)|=\|f\|\,d(x,\ker f),}$$${\displaystyle \ker f=\{k\in X:f(k)=0\}}$${\displaystyle f.}$

• 凸共役 – ルジャンドル変換の一般化
• ヘルダーの不等式 – Lp 空間における積分間の不等式
• Lp空間 – 有限次元pノルム空間を一般化した関数空間
• 演算子ノルム – 線形演算子の「サイズ」の尺度
• 偏極恒等式 – 内積空間におけるノルムと内積の関係を表す式

• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006).無限次元解析: ヒッチハイクガイド(第 3 版). Springer. ISBN 9783540326960。
• ボイド、スティーブン、ヴァンデンバーグ、リーベン（2004）。凸最適化。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521833783。
• ディーステル、ジョー (1984)。バナッハ空間における数列と級数。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• 橋本和夫；中村元；おはる、しんのすけ（1986-01-01）。 「リースの補題と正規空間における直交性」(PDF)。広島数学雑誌。16 (2)。広島大学 - 数学科。土井：10.32917/hmj/1206130429。ISSN  0018-2079。
• Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1957).関数理論と関数解析の要素、第1巻：距離空間とノルム空間。ロチェスター：グレイロックプレス。
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
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• Lieven Vandenberge による近位マッピングに関するメモ