準楕円演算子

偏微分方程式の理論において、開集合上に定義される偏微分演算子 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

が(滑らか) であるような開集合上で定義された任意の超関数に対して、もまたで なければならないとき、 は準楕円型と呼ばれます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle V\subset U}$${\displaystyle Pu}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C^{\infty}}$

この主張が を実解析的 に置き換えても成り立つ場合、 は解析的に準楕円型であると言われます。 ${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle P}$

係数を持つ楕円演算子はすべて準楕円型である。特に、ラプラシアンは準楕円型演算子の一例である（ラプラシアンは解析的にも準楕円型である）。さらに、熱方程式（） の演算子は${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\デルタ u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}$

（ここで）は楕円型ではないが、準楕円型である。しかし、波動方程式（） の演算子は${\displaystyle k>0}$${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\デルタ u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}$

(ここで)は準楕円ではありません。 ${\displaystyle c\neq 0}$

• 島倉 則夫 (1992)。楕円型偏微分作用素：島倉則夫訳。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州ISBN 0-8218-4556-X。
• Egorov, Yu. V.; Schulze, Bert-Wolfgang (1997).擬似微分演算子、特異点、応用。ビルクハウザー。ISBN 3-7643-5484-4。
• Vladimirov, VS (2002).一般化関数の理論の方法. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0。
• フォランド、GB (2009)。フーリエ解析とその応用。AMS。ISBN 978-0-8218-4790-9。

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