コズルの二重性

数学において、コシュル双対性は、フランスの数学者ジャン＝ルイ・コシュルにちなんで名付けられ、リー代数、抽象代数（半単純代数）^[1]、位相（同変コホモロジー^[2]など）の表現論に見られるさまざまな種類の双対性のいずれかである。コシュル双対性の原型的な例は、ジョセフ・バーンスタイン、イスラエル・ゲルファンド、セルゲイ・ゲルファンドによって導入された。^[3]これは、対称代数の導来圏と外積代数の導来圏の間の双対性、および外積代数上の有限次元次数付き加群の安定圏を射影空間上の連接層の有界導来圏にリンクするBGG対応を確立する。この概念の重要性は、コシュル双対性が自然界にかなり遍在しているように見えるという疑いに基づいている。^[要出典]

最も単純で、ある意味ではコシュル双対性の典型的なケースは、次のように生じる。体k上の 1 次元ベクトル空間Vと双対ベクトル空間に対して、Vの外積代数は2 つの非自明な要素を持つ。 ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \bigwedge ^{1}V=V,\quad \bigwedge ^{0}V=k.}$

この外積代数と対称代数、は2段階連鎖複体を構築するのに役立つ。${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$

${\displaystyle V\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})\to k\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})}$

その微分は自然評価マップによって誘導される

${\displaystyle V\otimes _{k}V^{*}\to k,\quad v\otimes _{k}\varphi \mapsto \varphi (v).}$

Vの基底を選択すると、1変数の多項式環と同一視でき、前の鎖複体は複素数 と同型になる。 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle k[t]{\stackrel {t}{\longrightarrow }}k[t]}$

その微分はtによる乗算です。この計算は、上記の複体のコホモロジーは左側の項では 0 であり、右側の項ではkであることを示しています。言い換えると、k (単一の次数に集中した連鎖複体と見なされます) は上記の複体と準同型であり、 Vの外積代数とその双対の対称代数の間に密接なリンクを提供します。

アレクサンダー・ベイリンソン、ヴィクター・ギンツブルグ、ヴォルフガング・ゼルゲル^[4]が扱うコズル双対性は、コズル代数の概念を使って定式化できる。このようなコズル代数Aの例としては、有限次元ベクトル空間上の対称代数が挙げられる。より一般的には、任意のコズル代数は 二次代数、すなわち次の形式で あることが示される。${\displaystyle S(V)}$

${\displaystyle A=T(V)/R,}$

ここで は有限次元ベクトル空間上のテンソル代数であり、は の部分加群である。Koszul双対は二次双対と一致する 。${\displaystyle T(V)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T^{2}(V)=V\otimes V}$

${\displaystyle A^{!}:=T(V^{*})/R'}$

ここで は( k線型) 双対であり、Rの要素 (つまり、 A内の関係) が消える要素から構成されます。 の Koszul 双対は、Vの双対上の外代数によって与えられます。一般に、Koszul 代数の双対は、やはり Koszul 代数です。その反対の環は、 A加群として考えられる、基礎となる体kの自己拡大の次数付き環によって与えられます。 ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle R'\subset V^{*}\otimes V^{*}}$${\displaystyle A=S(V)}$${\displaystyle A^{!}=\Lambda (V^{*})}$

${\displaystyle (A^{!})^{\text{opp}}=\operatorname {Ext} _{A}^{*}(k,k).}$

代数が Koszul である場合、次数付き- および- 加群の導出カテゴリの特定のサブカテゴリ間には同値関係があります。これらのサブカテゴリは、複体の次数とコホモロジー次数に対する特定の有界条件によって定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{!}}$

同値性を得るためにとの導来圏の特定のサブカテゴリに進む代わりに、ホモトピー圏の特定の商の間の同値性を得ることも可能である。^[5]通常、これらの商は、非巡回複体の圏のいくつかのサブカテゴリを因数分解することによって得られるため、導来圏よりも大きいが、モジュールのすべての複体が、有界条件を課す必要なく、圏のいくつかの要素を決定するという利点がある。異なる定式化により、 の導来圏と余代数の「共導来」圏の間の同値性が得られる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{!}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A^{!})^{*}}$

Koszul双対性のD加群への拡張は、滑らかな代数多様体X上のケーラー微分のdg代数 上のdg加群と加群の間の導来カテゴリの同様の同値性を述べている。 ^{[6] [7] [8]}${\displaystyle \Omega_{X}}$ ${\displaystyle D_{X}}$

上記の Koszul 双対性の概念の拡張は、二次オペラドの概念を導入し、そのようなオペラドの二次双対を定義した Ginzburg と Kapranov によって定式化されました。^[9] 大まかに言えば、オペラドは、すべてのnに対するn項演算の対象からなる代数構造です。オペラド上の代数は、これらのn項演算が作用するオブジェクトです。たとえば、結合オペラドと呼ばれるオペラドがあり、その代数は結合代数、つまり正確なコンテキストに応じて非可換環 (または、コンテキストに応じて非可換次数環、微分次数環) です。いわゆる可換オペラド上の代数は可換代数、つまり可換 (おそらく次数付き、微分次数付き) 環です。さらに別の例は、代数がリー代数であるリーオペラドです。上で述べた二次双対性は、結合オペラドが自己双対であるのに対し、可換オペラドとリーオペラドはこの双対性の下で互いに対応するというものです。

オペラドの Koszul 双対性は、双対オペラド上の代数間の同値性を示します。結合代数の特殊なケースは、上記の 関数を返します。${\displaystyle A\mapsto A^{!}}$

• ジンビール代数

• プリディ、スチュワートB.コズル解像度。 アメリカ数学会誌 152（1970）、39-60。

• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXXIII-Koszul.pdf
• http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/Soergel.pdf
• http://arxiv.org/pdf/1109.6117v1.pdf