石の二重性

数学では、位相空間の特定のカテゴリと半順序集合のカテゴリの間には、カテゴリの双対性が豊富に存在します。今日では、これらの双対性は、ブール代数に対するストーンの表現定理の自然な一般化を形成するため、通常、ストーン双対性というラベルの下にまとめられています。これらの概念は、マーシャル・ストーンにちなんで名付けられています。ストーン型の双対性は、無意味位相幾何学の基礎も提供し、理論計算機科学では形式意味論の研究に活用されています。

この記事では、ストーン双対性の特殊なケースについて指摘し、その非常に一般的な例を詳しく説明します。

おそらく、古典的に「ストーン双対性」と呼ばれる最も一般的な双対性は、連続関数を持つソバー空間のカテゴリSobと、適切なフレーム準同型を持つ空間フレームのカテゴリSFrmの間の双対性です。 SFrmの双対カテゴリは、 SLocで表される空間ロケールのカテゴリです。SobとSLocのカテゴリ同値は、Loc (すべてのロケールのカテゴリで、SLocはその完全なサブカテゴリです)の研究に特化した数学的領域である無意味位相幾何学の基礎です。 関連する構成は、この種の双対性に特徴的なものであり、以下に詳しく説明します。

ここで、特定の特別なクラスの冷静な空間に制限することで、他の多くの双対性を簡単に得ることができます。

• コヒーレント空間 （およびコヒーレント写像）のカテゴリCohSp は、ブール素イデアル定理の仮定（実際、このステートメントはその仮定と同等）の下で、コヒーレント（またはスペクトル）局所（およびコヒーレント写像）のカテゴリCohLocと同等です。この結果の重要性は、 CohLoc が今度は有界分配格子のカテゴリDLat ₀₁と双対であるという事実に由来します。したがって、DLat _{01 は}CohSpと双対であり、分配格子に対するストーンの表現定理が得られます。
• さらにハウスドルフであるコヒーレント空間に制限すると、いわゆるストーン空間のカテゴリストーンが得られます。 DLat ₀₁側では、制限によりブール代数のサブカテゴリBool が生成されます。したがって、ブール代数に対するストーンの表現定理が得られます。
• 分配格子に対するストーンの表現は、コヒーレント空間とプリーストリー空間（コンパクトで完全に順序不連続な順序付き位相空間）の同値性を介して拡張できます。分配格子の表現は、順序付き位相を介して得られます。分配格子に対するプリーストリーの表現定理です。

これらの基本的な二重性に、他の多くのストーンタイプの二重性を追加できます。

理論の出発点は、すべての位相空間が点の集合Xと、 Xの元の開集合のシステム Ω( X ) 、つまりXのべき集合の部分集合によって特徴付けられるという事実です。 Ω( X ) には、特定の特殊な性質があることが知られています。それは、集合の和と有限の最小値がそれぞれ集合の交差と有限の和によって与えられる完全な格子であるということです。さらに、それはXと空集合の両方を含みます。Ω( X ) をXのべき集合格子に埋め込むと有限の最小値と任意の最大値が保存されるため、 Ω( X ) は次の分配法則を継承します。

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \{\,x\wedge s:s\in S\,\},}$

Ω( X ) のすべての元 (開集合) xとすべての部分集合Sに対して成り立ちます。したがって、Ω( X ) は任意の完全格子ではなく、完全 Heyting 代数です(フレームまたはローカルとも呼ばれます。さまざまな名前は主に、オブジェクトのクラスは同じだが射が異なる複数のカテゴリを区別するために使用されます。フレーム射、ローカル射、および完全 Heyting 代数の準同型)。ここで当然の疑問が生まれます。位相空間は、どの程度まで開集合のローカルによって特徴付けられるのでしょうか。

上ですでに示唆したように、さらに先に進むことができます。位相空間のカテゴリTop には、連続関数の射があります。ここで、関数fが連続であるとは、fの余域にある任意の開集合の逆像 f ⁻¹ ( O ) がfの領域で開いている場合です。したがって、空間Xから空間Yへの任意の連続関数f は、Ω( Y ) から Ω( X ) への逆写像 f −1 を定義します。^さらに、 f ⁻¹ (任意の逆像マップと同様に) は有限の交差と任意の和を保存するため、フレームの射であることは簡単に確認できます。 Ω( f ) = f ⁻¹と定義すると、 Ω はカテゴリTopからフレームとフレーム射のカテゴリFrmへの反変関手になります。カテゴリ理論のツールを使用して、開集合格子の観点から位相空間の特徴付けを見つけることは、 Ω に随伴するFrmからTopへの関手を見つけることと同等です。

このセクションの目標は、各局所Lに適切な位相を持つ点の集合 pt( L ) (したがって pt という表記) を割り当てることによって、ある意味で Ω の演算を「反転」する、FrmからTopへの関数 pt を定義することです。しかし、局所は集合の束として与えられていないのに、どのようにして局所から点の集合を復元できるのでしょうか。一般に、pt が開集合の束から位相空間の元の要素をすべて再現できるとは期待できないことは確かです。たとえば、離散位相を持つすべての集合は(同型性を除いて) 同じ局所を生成し、特定の集合に関する情報はもはや存在しません。ただし、局所から「点」を取得するための合理的な手法はまだ存在し、これは確かに Stone 型双対性定理の中心的な構成の例を示しています。

まず位相空間Xの点について見てみましょう。通常、 Xの点は集合Xの要素 x とみなしたくなりますが、実際には、現在の調査にはより便利な記述があります。任意の点xは、 p _x (1) = xと定義することにより、1 要素位相空間 1 (そのすべての部分集合は開いている) から空間Xへの連続関数p _xを生み出します。逆に、 1 からXまでの任意の関数は、 1 つの点、つまりそれが「指し示す」要素を明確に決定します。したがって、位相空間の点の集合は、 1 からXまでの関数の集合として同等に特徴付けられます。

TopからFrmに渡すために関数 Ω を使用すると、空間のすべての集合論的要素が失われますが、カテゴリ理論の基本的な考え方を使用すると、関数空間でも作業できます。実際、 Topの任意の「点」p _x : 1 → Xは、射 Ω( p _x ): Ω( X ) → Ω(1)にマッピングされます。 1 要素位相空間 Ω(1) の開集合格子は、0 < 1 である 2 要素局所 2 = {0, 1 } と同型です。これらの観察の後、局所Lの点の集合をLから 2 へのフレーム射の集合として定義するのが妥当と思われます。しかし、局所 Ω( X ) のすべての点が位相空間Xの点と 1 対 1 で対応しているという保証はありません(開集合格子が 1 つの「点」のみを持つ非離散位相を再度検討してください)。

pt( X )上の必要な位相を定義する前に、局所点の概念をさらに明確にする価値がある。上記の観点では、局所点LをLから2 へのフレーム射pと見なすことが示唆されている。しかし、これらの射は 2 の 2 つの元の逆像によって同値に特徴付けられる。フレーム射の特性から、p ⁻¹ (0) は下集合であり ( pは単調であるため)、最大元a _p = V p ⁻¹ (0) ( p は任意の上限を保存するため) を含むことが分かる。さらに、主イデアルp ^{−1 (0) は}素イデアルである。p は有限の最小値を保存するため、主イデアルa _{p は}素数を満たす元である。ここで、 p ⁻¹ (0) が主素イデアルであるため、p ⁻¹ ( 1)によって与えられるp ⁻¹ (0)の逆集合は完全に素なフィルターである。まとめると次のようになります。

場所Lの点は次のように記述されます。

• Lから2へのフレーム射
• Lの主素イデアル
• Lのmeet-prime要素
• Lの完全に素なフィルタ。

これらすべての説明は理論の中でそれぞれの位置を占めており、必要に応じて切り替えると便利です。

点の集合はどの場所でも利用できるようになったので、関数ptのオブジェクト部分を定義するために、この集合に適切な位相を与える必要がある。これは、pt( L )の開集合を次のように 定義することによって行われる。

φ( a ) = { p ∈ pt( L ) | p ( a ) = 1 }、

Lのあらゆる元aに対して。ここではLの点を射として見ましたが、もちろん他の同等の特徴付けすべてに対しても同様の定義を述べることができます。Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } と設定すると、実際に位相空間 (pt( L ), Ω(pt( L ))) が得られることが示されます。この空間を pt( L )と省略するのが一般的です。

最後に、 pt は、 LからMへのフレーム射gに対して、 pt( g ): pt( M ) → pt( L ) として pt( g )( p ) = p o gと定義することにより、 Frmの射に対してむしろ標準的に定義できます。つまり、 L から M への射 g を適用してから、 M から 2 に写像する射 p を適用することで、 L から 2 ( L の点) への射を取得します。これも、局所の点の他の記述を使用して形式化できます。たとえば、 ( p o g ) ⁻¹ (0) を計算するだけです。

以前に何度か述べたように、pt と Ω は通常は逆ではありません。一般に、X は pt(Ω( X )) と同相ではなく、L は Ω(pt( L )) と順序同型でもありません。ただし、上記の pt( L )の位相を導入するときに、 LからΩ(pt( L )) へのマッピング φ が適用されました。このマッピングは確かにフレーム射です。逆に、 ψ( x ) = Ω( p _x )と設定することで、 Xから pt(Ω( X ))への連続関数 ψ を定義できます。ここで、p _{x は}、上で説明したように、 1 からXまでの点xの特性関数です。別の便利な説明は、局所の点を meet-prime 要素と見なすことによって行われます。この場合、ψ( x ) = X \ Cl{ x } となり、Cl{ x } は集合 { x } の位相閉包を表し、\ は集合差です。

この時点で、目的の結果を得るのに十分すぎるほどのデータがすでにあります。関数 Ω と pt は、カテゴリTopとLoc = Frm ^opの間の随伴を定義します。ここで、 pt は Ω の右随伴であり、自然変換ψ と φ ^{op は}それぞれ必要な単位と余単位を提供します。

上記の随伴は、カテゴリTopとLocの同値ではありません (または、 TopとFrmの双対性と同じです)。このためには、 ψ と φ の両方がそれぞれのカテゴリで同型である必要があります。

空間Xに対して、 ψ: X → pt(Ω( X )) が同相写像であるためには、それが全単射である必要があります。開集合格子の meet-prime 元による特徴付けを使用すると、すべての meet-prime 開集合が、一意のxに対してX \ Cl{ x } の形式である場合に限り、これが当てはまることがわかります。あるいは、すべての join-prime 閉集合は、分配格子であるため、「join-prime」は (join-) 既約に置き換えることができる一意の点の閉包です。この特性を持つ空間はsober と呼ばれます。

逆に、局所Lに対して、 φ: L → Ω(pt( L )) は常に射影的です。さらに、Lの任意の2 つの要素aとb (aがb以下ではない)が局所の点で分離できる場合にのみ、単射です。形式的には、

a ≤ bでない場合、 pt( L )内に点pが存在し、 p( a ) = 1 かつ p( b ) = 0 となる。

この条件がロケールのすべての要素に対して満たされる場合、ロケールは空間的であり、十分なポイントがあると言われます。(より一般的なカテゴリでの同様の条件については、 well-pointed カテゴリも参照してください。)

最後に、あらゆる空間Xについて、 Ω( X ) は空間的であり、あらゆるロケールLについて、 pt( L ) はソバーであることが証明できる。したがって、 TopとLocの上記の随伴は、ソバー空間の完全なサブカテゴリSobと空間ロケールのSLocの同値に制限されることになる。この主な結果は、関手 pt o Ω について、各空間をその開集合格子の点に送ることは、 SobからTopへの包含関手に左随伴するという観察によって完成する。空間Xについて、 pt(Ω( X )) はそのソバー化と呼ばれる。関手 Ω o pt の場合は対称的であるが、この操作の特別な名前は一般に使用されていない。

• Stanley N. Burris および HP Sankappanavar、1981 年。『A Course in Universal Algebra』。Springer -Verlag。ISBN 3-540-90578-2 。  (上記の Web サイトから無料でオンラインで入手可能)
• PTジョンストン、「ストーンスペース」、ケンブリッジ高等数学研究3、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1982年。ISBN 0-521-23893-5。 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​
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• 抽象的な石の二重性
• Caramello, Olivia (2011). 「ストーン型双対性へのトポス理論的アプローチ」arXiv : 1103.3493 [math.CT].