有限群

数学において、有限群とは、ある意味で有限群のシステムから組み立てられた位相群です。

親有限群を使用する目的は、有限群のシステム全体の「統一的な」または「総観的な」ビューを提供することです。親有限群の特性は、一般的に言えばシステムの統一的な特性です。たとえば、親有限群が有限生成 (位相群として) であるためには、システム内のすべてのグループが要素によって生成できるものが存在する必要があります。 ^{[1]有限群に関する多くの定理は、親有限群に簡単に一般化できます。例としては、}ラグランジュの定理やシローの定理があります 。^[2]${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle d}$

原有限群を構成するには、有限群のシステムとそれらの間の群準同型性が必要です。一般性を失うことなく、これらの準同型は射影的であると仮定することができ、その場合、有限群は結果として得られる原有限群の商群として現れます。ある意味では、これらの商は原有限群を近似します。

有限群の重要な例としては、-進整数の加法群と無限次体拡大のガロア群がある。 ${\displaystyle p}$

すべての profinite 群はコンパクトかつ完全に分離しています。この概念の非コンパクトな一般化は、局所 profinite 群です。さらに一般的なのは、完全に分離した群です。

累限定群は、2 つの同等な方法のいずれかで定義できます。

原有限群は、離散有限群の逆システムの逆極限に同型な位相群である。 ^[3]この文脈では、逆システムは、有向集合、それぞれが離散位相を持つ有限群のインデックス付き族、およびが上の恒等写像であり、コレクションが次の場合に合成特性を満たすような準同型族から構成される。逆極限は、 相対積位相 を備えた集合: である。 ${\displaystyle (I,\leq ),}$${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$${\displaystyle f_{i}^{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$${\displaystyle i\leq j\leq k.}$$${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ すべての }}i\leq j\right\}} に対して$$

逆極限を普遍的性質の観点から定義することもできます。カテゴリカルな観点から言えば、これは共フィルタリングされた極限構成の特殊なケースです。

有限群はコンパクトかつ完全に不連続な位相群である: ^[4]すなわち、ストーン空間でもある位相群である。

任意の群が与えられたとき、関連するprofinite群が存在する。${\displaystyle G}$${\displaystyle {\ワイドハット {G}},}$のprofinite 完備化。^[4]、有限指数の の正規部分を通る群 の逆極限として定義されます(これらの正規部分群は部分的に順序付けられ、これは商間の自然準同型の逆システムに変換されます)。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

自然な準同型 が存在し、この準同型によるの像はにおいて稠密です。準同型が単射となるのは、群が残差有限である場合（つまり、 であり、交差が有限指数のすべての正規部分群を通過する場合）に限ります。 ${\displaystyle \eta :G\to {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\ワイドハット {G}}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \bigcap N=1}$${\displaystyle N}$

準同型性は、次の普遍的性質によって特徴付けられます。任意の原有限群と任意の連続群準同型が与えられ、その有限指数の正規部分群が開いているような群演算と互換性のある最小の位相が与えられている場合、を満たす唯一の連続群準同型性が存在するということです。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

最初の定義によって構築された任意のグループは、2 番目の定義の公理を満たします。

逆に、 2番目の定義の公理を満たす任意の群は、逆極限を使用して、最初の定義に従って逆極限として構成できます。逆極限は、（逆）包含によって順序付けられたの開正規部分群を通る範囲です。 が位相的に有限生成である場合、それはさらにそれ自身の profinite 完備化に等しいです。^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle \varprojlim G/N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

実際には、有限群の逆システムはほとんどの場合射影的、つまりそのすべての写像は射影的である。任意の逆システムが与えられた場合、最初にその原始有限群を構築し、次にそれを自身の原始有限完備化として 再構築することができるため、一般性を失うことなく、射影システムのみを考慮すれば十分である${\displaystyle G,}$

• 離散位相が与えられれば、有限群は有限群になります。
• 加法の下での-進整数群は、前有限（実際は前巡回）である。これは、すべての自然数にわたる範囲と、の自然写像である有限群の逆極限である。この前有限群上の位相は、上の -進値から生じる位相と同じである。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq m.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• 原有限整数 群はの原有限完備化です。詳しくは、を法として写像する有限群の逆極限です。この群はすべての群の積であり、任意の有限体の絶対ガロア群です。${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle m\,|\,n.}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$
• 無限次数の体拡大のガロア理論は、自然に profinite なガロア群を生じます。具体的には、がガロア拡大である場合、のすべての元を固定した のすべての体自己同型からなる群を考えます。この群は、 が有限ガロア拡大となるようなすべての中間体上に及ぶ有限群の逆極限です。極限プロセスでは、制限準同型が使用されます。ここでで得られる位相は、ヴォルフガング・クルルにちなんでクルル位相として知られています。Waterhouse (1974) は、すべてのprofinite 群は、ある体のガロア理論から生じる群と同型であることを示しましたが、この場合、どの体がになるかを (まだ) 制御することはできません。実際、多くの体に対して、どの有限群が体上のガロア群として現れるかは一般には正確にはわかっていません。これは体に対する 逆ガロア問題です（複素数上の1変数の有理関数の体など、いくつかの体に対しては逆ガロア問題は解決されています）。すべての原有限群が体の絶対ガロア群として現れるわけではありません。 ^[6]${\displaystyle L/K}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F/K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K}$
• 代数幾何学で考慮されるエタール基本群も、大まかに言えば、代数は代数多様体の有限被覆しか「見ることができない」ため、親有限群です。ただし、代数位相幾何学の基本群は一般に親有限ではありません。指定された任意の群に対して、その基本群に等しい 2 次元CW 複体が存在します。
• 局所有限根付き木の自己同型群は、profinite です。

• （任意の数の）profinite 群の積はすべてprofinite です。profinite から生じる位相は、積の位相と一致します。連続遷移写像を持つ profinite 群の逆システムの逆極限は profinite であり、逆極限関数はprofinite 群のカテゴリに対して正確です。さらに、profinite であることは拡張プロパティです。
• 原有限群のすべての閉じた部分群は、それ自身原有限です。原有限性から生じる位相は、部分空間位相と一致します。 が原有限群の閉じた正規部分群である場合、因子群は原有限です。原有限性から生じる位相は、商位相と一致します。${\displaystyle N}$${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G/N}$
• 全てのprofinite群はコンパクトハウスドルフなので、上のハール測度が存在し、これにより、の部分集合の「大きさ」を測定し、特定の確率を計算し、上の関数を積分することができる。${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle G.}$
• 部分群が開群となるのは、それが閉じており、かつ有限の指数を持つ場合のみです。
• Nikolay Nikolov とDan Segalの定理によれば、任意の位相的に有限生成の profinite グループ (つまり、稠密な 有限生成部分群を持つ profinite グループ) において、有限インデックスの部分群は開群です。これは、位相的に有限生成のpro-グループに対するJean-Pierre Serreの以前の類似の結果を一般化したものです。証明には有限単純群の分類を使用します。${\displaystyle p}$
• 上記のニコロフ-シーガルの結果の簡単な帰結として、原有限群と間の任意の射影離散群準同型は、位相的に有限生成である限り連続です。実際、 の任意の開部分群は有限指数なので、 におけるその逆像も有限指数であり、したがって開群でなければなりません。${\displaystyle \varphi :G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$
• と が位相的に有限生成の profinite 群であり、同型写像によって離散群として同型であると仮定します。すると、上記の結果により、 は全単射かつ連続になります。さらに、も連続なので、同相写像も連続です。したがって、位相的に有限生成の profinite 群上の位相は、その代数構造によって一意に決定されます。${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \iota .}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \iota ^{-1}}$${\displaystyle \iota }$

有限群の概念があり、これはprofinite 群の概念的な双対です。つまり、有限群の帰納的システムの直接の極限である場合、その群は有限群です。(特に、それは ind 群です。) 通常の用語は異なります。すべての有限生成部分群が有限である場合、その群は局所有限と呼ばれます。これは、実際には、「有限」であることと同等です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ポントリャーギン双対性を適用すると、アーベル準有限群が局所有限離散アーベル群と双対性を持つことがわかります。後者はアーベル捩れ群に過ぎません。

有限群は射影的とは、任意の拡大に対してリフティングプロパティを持つこと任意のプロフィニットからの射影射に対して切断が存在すること^[7][8]${\displaystyle G}$${\displaystyle H\to G}$ ${\displaystyle G\to H.}$

非有限群の射影性は、次の2つの性質のいずれかと同等である: ^[7]${\displaystyle G}$

• コホモロジー次元 ${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• 任意の素数に対して、のシロー部分群は自由前群である。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$

あらゆる射影的プロフィニット群は擬代数閉体の絶対ガロア群として実現できる。この結果はアレクサンダー・ルボツキーとルー・ファン・デン・ドリースによるものである。^[9]

有限群は${\displaystyle G}$プロサイクリックとは、位相的に単一の要素によって生成される場合、つまり部分群の閉包で^ある[10]${\displaystyle \sigma ;}$${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

位相群がプロサイクリック群であるのは、が素数の集合を範囲とし、または^[11]と同型である場合に限ります。${\displaystyle G}$${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

• ハウスドルフ完成
• 局所巡回群
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• 有限整数
• 残余性質（数学）  - 群論における概念Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 残差有限群 – 数学的群の種類Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

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