グループの直和

数学において、群 G は、交差が自明な 2 つの正規部分群の直和^{[1] [2]}が部分群によって生成される場合と呼ばれます。抽象代数学では、この群の構成方法は、ベクトル空間、モジュール、およびその他の構造の直和に一般化できます。詳細については、モジュールの直和の記事を参照してください。非自明な部分群の直和として表現できる群は分解可能と呼ばれ、そのような直和で表現できない群は分解不可能と呼ばれます。

群Gは、 2つの 部分群H ₁とH ₂の直和^{[1] [2]}と呼ばれる。

• H ₁とH ₂はそれぞれGの正規部分群であり、
• 部分群H ₁とH ₂は自明な共通部分を持つ（つまり、Gの単位元 のみを共有する）。${\displaystyle e}$
• G = ⟨ H ₁ , H ₂ ⟩; 言い換えれば、GはサブグループH ₁とH ₂によって生成される。

より一般的には、Gは有限集合のサブグループ{ H _i }の直和と呼ばれる。

• 各H _{i は}Gの正規部分群であり、
• 各H _{i は}部分群⟨{ H _j  : j ≠ i }⟩と自明な共通部分を持ち、
• G = ⟨{ H _i }⟩; 言い換えれば、Gはサブグループ{ H _i }によって生成されます。

G が部分群HとKの直和である場合、 G = H + Kと書きます。また、G が部分群の集合 { H _i }の直和である場合、 G = Σ H _iと書くことがよくあります。大まかに言えば、直和は部分群の弱直積と 同型です。

G = H + Kの場合、次のことが証明できます。

• Hに含まれるすべてのh、Kに含まれるすべてのkに対して、 h ∗ k = k ∗ hが成り立つ。
• Gの任意のgに対して、 Hの唯一のh、Kの唯一のk が存在し、g = h ∗ k
• 商には和の相殺があるので、( H + K )/ K はHと同型である。

上記の主張は、 G = Σ H _iの場合に一般化できます。ここで、{ H _i } は部分群の有限集合です。

• i ≠ jならば、 H _i内の全てのh _i、H _j内の全てのh _jに対して、 h _i ∗ h _j = h _j ∗ h _iが成り立つ。
• G内の各gに対して、 H _i内の要素h _iの一意の集合が存在し、

g = h ₁ ∗ h ₂ ∗ ... ∗ h _i ∗ ... ∗ h _n

• 商では和が相殺されるので、((Σ H _i ) + K )/ K はΣ H _iと同型です。

直積との類似性に注目してください。ここで、各gは次のように一意に表すことができます。

g = ( h ₁、h ₂、 ...、h _i、 ...、h _n )。

すべてのi ≠ jについてh _i ∗ h _j = h _j ∗ h _iなので、直和の要素の乗算は直積の対応する要素の乗算と同型になります。したがって、部分群の有限集合では、Σ H _{i は}直積 ×{ H _i } と同型です。

群 が与えられたとき、となる別の 部分群 が存在するとき、その部分群はの直和であるといいます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=H+K}$

アーベル群において、が の可分部分群である場合、 はの直和項です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

• を取ると、 が部分群の直積であることは明らかです。${\textstyle G=\prod _{i\in I}H_{i}}$${\displaystyle G}$${\textstyle H_{i_{0}}\times \prod _{i\not =i_{0}}H_{i}}$

• がアーベル群の可分部分群である場合、となる別のの部分群が存在する。${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=K+H}$
• にもベクトル空間構造がある場合、 はと商 に同型となる別の部分空間の直和として表すことができます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle G/K}$

有限群を直和な部分群に分解する場合、部分群の埋め込みは一意ではない。例えば、クライン群 では次のようになる。 ${\displaystyle V_{4}\cong C_{2}\times C_{2}}$

${\displaystyle V_{4}=\langle (0,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle ,}$そして

${\displaystyle V_{4}=\langle (1,1)\rangle +\langle (1,0)\rangle .}$

しかし、レマック・クルル・シュミットの定理によれば、有限群G = Σ A _i = Σ B _j（各A _iと各B _{j は}非自明かつ分解不可能）が与えられた場合、2 つの和は並べ替えと同型性を除いて等しい項を持つことになります。

レマック・クルル・シュミットの定理は無限群に対しては成り立たないため、無限群G = H + K = L + Mの場合、すべての部分群が非自明かつ分解不可能であっても、HがLまたはMのいずれかに同型であると結論付けることはできません。

G が無限（おそらくは無数）のサブグループの直和である 場合に上記の特性を記述するには、さらに注意が必要です。

g が群の集合の直積 Π{ H i } の元である場合、g i を積における g の i 番目の元とする。群の_集合{ H i _}の外直和( Σ E { _H i _}と表記₎はΠ{ H _i }の部分集合であり、 Σ _E { H _i }の各元gについて、g _{i は}有限個を除くすべてのg _iに対して恒等元である(つまり、有限個のg _iのみが恒等元ではない)。外直和における群演算は、通常の直積と同様に、点ごとの乗算である。 ${\displaystyle e_{H_{i}}}$

この部分集合は実際にグループを形成し、グループの有限集合 { H _i } に対して、外部直和は直積に等しくなります。

G = Σ H _iの場合、G はΣ _E { H _i }と同型です。したがって、ある意味では、直和は「内部」外部直和です。Gの各要素gに対して、一意の有限集合Sと一意の集合 { h _i ∈ H _i  : i ∈ S }が存在し、 g = Π { h _i  : i in S } となります。

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