ラングランズ双対群

数学の一分野である表現論において、簡約代数群Gのラングランズ双対 ^L G（GのL群とも呼ばれる）は、 Gの表現論を司る群である。G が体k上で定義されている場合、^L G は複素リー群によるkの絶対ガロア群の拡張である。 L群のヴェイユ形式と呼ばれるバリエーションもあり、これはガロア群をヴェイユ群に置き換えたものである。ここで、名前の文字L は、L-関数、特に保型L-関数の理論との関連も示している。 ラングランズ双対は、ラングランズ (1967) がA. ヴェイユに宛てた手紙の中で導入された。

L群は、ロバート・ラングランズのラングランズ予想で頻繁に使用されます。これは、 kがグローバル体のとき、保型形式が群Gにおいてある意味で関数的であるという考え方から正確な記述を行うために使用されます。保型形式と表現が関数的であるのはGではなく、 ^L Gです。これにより、ある群から別のより大きな群への形式の「持ち上げ」や、体拡大後に同型になる特定の群が関連する保型表現を持つという一般的な事実など、多数の現象が説明されます。

可分閉体K上の簡約代数群からそのルート データ( X ^* , Δ, X _* , Δ ^v ) を構築できます。ここで、 X ^*は最大トーラスの指標の格子、X _{* は}双対格子 (1 パラメータ部分群によって与えられる)、 Δ はルート、 Δ ^{v は}コルートです。K上の連結な簡約代数群は、そのルート データによって一意に決定されます (同型性を除いて)。 ルート データには、グループの中心も決定されるため、 ディンキン図 よりも少し多くの情報が含まれています。

任意のルート データ ( X ^*、Δ、X _*、Δ ^v )に対して、1 パラメータ サブグループのキャラクタと交換し、コルートのルートと交換することで、デュアル ルート データ( X _*、Δ ^v、X ^*、Δ) を定義できます。

G が代数閉体K上の連結簡約代数群である場合、そのラングランズ双対群 ^L G は、ルートデータがGのルートデータと双対である複素連結簡約群です。

例: ラングランズ双対群^L G は、タイプB _nの成分がタイプC _nの成分に変更され、その逆も成り立つことを除いて、 Gと同じディンキン図を持ちます。 G が自明な中心を持つ場合、 ^L G は単連結であり、Gが単連結である場合、 ^L G は自明な中心を持ちます。GL _n ( K ) のラングランズ双対はGL _n ( C )です。

ここで、 G が、分離閉包Kを持つある体k上の簡約群であると仮定する。K上で、G はルートデータを持ち、これはガロア群Gal ( K / k )の作用を伴う。 L群の恒等成分^L G ^oは、双対ルートデータの連結複素簡約群であり、これはガロア群Gal ( K / k ) の誘導作用を伴う。完全なL群^L G は、半直積である 。

^L G = ^L G ^o × Gal ( K / k )

連結成分とガロア群の関係。

Lグループの定義には、次のようにいくつかのバリエーションがあります。

• 分離閉包の完全なガロア群Gal ( K / k ) を使用する代わりに、 Gが分割される有限拡大のガロア群を使用することができます。対応する半直積は有限個の成分のみを持ち、複素リー群になります。
• kが局所体、大域体、または有限体であると仮定します。 kの絶対ガロア群を使用する代わりに、絶対ヴェイユ群を使用することができます。これはガロア群への自然な写像を持ち、したがってルートデータにも作用します。対応する半直積は、 L群のヴェイユ形式と呼ばれます。
• 有限体上の代数群Gに対して、Deligne と Lusztig は異なる双対群を導入しました。以前と同様に、G は有限体の絶対ガロア群の作用を持つルートデータを与えます。双対群 G ^*は、ガロア群の誘導作用を持つ双対ルートデータに関連付けられた有限体上の簡約代数群です。(この双対群は有限体上で定義され、ラングランズ双対群の成分は複素数上で定義されます。)

ラングランズ予想は、非常に大まかに言えば、G が局所体または大域体上の簡約代数群である場合、Gの「良い」表現と、ガロア群（またはヴェイユ群またはラングランズ群）のGのラングランズ双対群への準同型との間に対応関係があることを意味しています。この予想のより一般的な定式化はラングランズ関手性であり、これは（大まかに言えば）ラングランズ双対群間の（行儀の良い）準同型が与えられた場合、対応する群の「良い」表現の間に誘導写像が存在するはずであると述べています。

この理論を明確にするためには、L 群から別のL群へのL準同型の概念を定義する必要があります。つまり、L群をカテゴリにする必要があるため、「関数性」が意味を持ちます。複素リー群上の定義は予想どおりですが、L準同型は Weil 群「上」にある必要があります。

• A. Borel、保型 L 関数、保型形式、表現、および L 関数、ISBN  0-8218-1437-0
• ラングランズ、R.（1967）、A​​. ヴァイル宛の手紙
• Mirković, I.; Vilonen, K. (2007)、「幾何学的ラングランズ双対性と可換環上の代数群の表現」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、166 (1): 95–143、arXiv : math/0401222、doi :10.4007/annals.2007.166.95、ISSN  0003-486X、MR  2342692Gの双対群をGのアフィングラスマン多様体の幾何学の観点から記述します。