ファンクタ

数学、特に圏論において、関手とは圏間の写像のことである。関手は代数トポロジーにおいて初めて考察された。代数トポロジーでは、代数的対象（基本群など）が位相空間に対応付けられ、これらの代数的対象間の写像が空間間の連続写像に対応する。今日では、関手は現代数学のあらゆる分野で、様々な圏を関連付けるために用いられている。したがって、関手は圏論が適用される数学のあらゆる分野において重要である。

「カテゴリー」と「ファンクター」という言葉は、それぞれ哲学者アリストテレスとルドルフ・カルナップから数学者によって借用されたものである。^{[ 1 ]}後者は言語的な文脈でファンクターを使用した。 ^{[ 2 ]}関数語を 参照。

させて${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$カテゴリーである。ファンクター${\displaystyle F}$から${\displaystyle C}$に${\displaystyle D}$これは次のようなマッピングです。^{[ 3 ]}

• 各オブジェクトを関連付けます${\displaystyle X}$で${\displaystyle C}$物体へ${\displaystyle F(X)}$で${\displaystyle D}$、
• 各射を関連付ける${\displaystyle f:X\to Y}$で${\displaystyle C}$射へ${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$で${\displaystyle D}$以下の2つの条件が満たされる。
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle X}$で${\displaystyle C}$、
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$すべての射に対して${\displaystyle f:X\to Y\,\!}$そして${\displaystyle g:Y\to Z}$で${\displaystyle C}$。

つまり、ファンクターは恒等射と射の合成を保存しなければならない。

ファンクター公理の重要な帰結は次の2つである。

• ${\displaystyle F}$各可換図式を変換し${\displaystyle C}$可換図式に${\displaystyle D}$;
• もし${\displaystyle f}$は同型写像である${\displaystyle C}$、 それから${\displaystyle F(f)}$は同型写像である${\displaystyle D}$。

ファンクターを合成することができます。つまり、${\displaystyle F}$はファンクターです${\displaystyle A}$に${\displaystyle B}$そして${\displaystyle G}$はファンクターです${\displaystyle B}$に${\displaystyle C}$すると、複合ファンクターを形成できる。${\displaystyle G\circ F}$から${\displaystyle A}$に${\displaystyle C}$ファンクターの合成は、定義されている場合は結合法則を満たす。ファンクターの合成の恒等関数は恒等関数である。これは、ファンクターが、例えば小圏の圏のような圏の圏における射として考えられることを示している。

単一の対象を持つ小さな圏はモノイドと同じものです。つまり、単一対象圏の射はモノイドの要素と考えることができ、圏における合成はモノイド演算と考えることができます。単一対象圏間の関手はモノイド準同型に対応します。したがって、ある意味では、任意の圏間の関手は、モノイド準同型を複数の対象を持つ圏に一般化したものと言えます。

図

カテゴリ別${\displaystyle C}$そして${\displaystyle J}$タイプの図${\displaystyle J}$で${\displaystyle C}$共変関手である${\displaystyle D:J\to C}$。

（圏論的）前層

カテゴリ別${\displaystyle C}$そして${\displaystyle J}$、${\displaystyle J}$-preseaf on${\displaystyle C}$反変関数である${\displaystyle D:C\to J}$特別な場合${\displaystyle J}$は${\displaystyle \mathbf {Set} }$集合と関数のカテゴリー、${\displaystyle D}$は前層と呼ばれます${\displaystyle C}$。

前層（位相空間上）

Xが位相空間である場合、Xの開集合は包含関係の下で半順序集合Open( X )を形成します。すべての半順序集合と同様に、Open( X ) は、次の場合に限り、単一の矢印U → Vを追加することによって小さなカテゴリを形成します。${\displaystyle U\subseteq V}$Open( X ) 上の反変関手は、 X上の前層と呼ばれます。例えば、任意の開集合UにU上の実数値連続関数の結合代数を割り当てることにより、 X上の代数の前層が得られます。

定数関数

ファンクター${\displaystyle C\to D}$すべてのオブジェクトをマッピングします${\displaystyle C}$固定された物体へ${\displaystyle X}$で${\displaystyle D}$そして、すべての射は${\displaystyle C}$恒等射へ${\displaystyle X}$このようなファンクターは定数ファンクターまたは選択ファンクターと呼ばれます。

内分泌科医

ある圏をその同じ圏に写像するファンクター。例えば、多項式ファンクター。

同一性ファンクター

圏における恒等関手${\displaystyle C}$、と表記される${\displaystyle 1_{C}}$または${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$は、オブジェクトをそれ自身に写像し、射をそれ自身に写像します。恒等関手は自己関手です。

対角関数

対角ファンクターは、次のファンクターとして定義されます。${\displaystyle D}$ファンクター圏へ${\displaystyle D^{C}}$各オブジェクトを${\displaystyle D}$そのオブジェクトにおける定数ファンクターへ。

制限ファンクター

固定されたインデックス圏Jに対して、すべての関手J → C が極限を持つ場合（例えばCが完備である場合）、極限関手C ^J → Cは各関手にその極限を割り当てます。この関手の存在は、それが対角関手の右随伴であることを認識し、フレイド随伴関手定理を適用することで証明できます。これには、選択公理の適切なバージョンが必要です。同様の考察は、余極限関手（すべての関手にその余極限を割り当て、共変である）にも当てはまります。

パワーセット関数

冪集合ファンクターP  : Set → Set は、各集合をその冪集合に、各関数をその冪集合にマッピングします。${\displaystyle f\colon X\to Y}$送信する地図へ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$そのイメージに${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$また、反変冪集合関数を考えることもできます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$送信する地図へ${\displaystyle V\subseteq Y}$その反転像へ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

例えば、${\displaystyle X=\{0,1\}}$、 それから${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$。 仮定する${\displaystyle f(0)=\{\}}$そして${\displaystyle f(1)=X}$。 それから${\displaystyle F(f)}$任意のサブセットを送信する関数です${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$そのイメージに${\displaystyle f(U)}$、 この場合${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$その他の値については、

${\displaystyle {\begin{aligned}\{0\}\mapsto f(\{0\})&=\{f(0)\}=\{\{\}\},\\\{1\}\mapsto f(\{1\})&=\{f(1)\}=\{X\},\\\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})&=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.\end{aligned}}}$

ご了承ください${\displaystyle f(\{0,1\})}$その結果、自明なトポロジーが生成される${\displaystyle X}$また、関数は${\displaystyle f}$この例では、${\displaystyle X}$しかし、必ずしも一般的にそうである必要はない。

双対ベクトル空間

すべてのベクトル空間にその双対空間を割り当て、すべての線形写像にその双対または転置を割り当てる写像は、固定された体上のすべてのベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手である。

基本グループ

点付き位相空間、すなわち区別点を持つ位相空間のカテゴリーを考えます。対象はペア( X , x ₀ )であり、Xは位相空間、x _0はX内の点です。 ( X , x ₀ )から( Y , y ₀ )への射は、 f ( x ₀ ) = y ₀である連続写像f  : X → Yによって与えられます。

点x ₀を持つ任意の位相空間Xに対して、x ₀を基点とする基本群π ₁ ( X , x ₀ )を定義できます。これは、連結の群演算を持つ、x ₀を基点とするループのホモトピー類の群です。f : X → Yが点付き空間の射である場合、基点x _0を持つXのすべてのループは、fと合成して基点y _0を持つYのループを得ることができます。この操作はホモトピー同値関係とループの合成と互換性があり、π( X , x ₀ )からπ( Y , y ₀ )への群準同型が得られます。したがって、点付き位相空間の圏から群の圏への関手が得られます。 

位相空間（特異点を持たない）のカテゴリーでは、一般曲線のホモトピー類を考えるが、それらは端点を共有しない限り合成できない。したがって、基本群の代わりに基本群圏が得られ、この構成は関数的である。

連続関数の代数

位相空間の圏（射として連続写像を持つ）から実結合代数の圏への反変関手は、すべての位相空間Xに、その空間上のすべての実数値連続関数からなる代数 C( X ) を割り当てることによって与えられる。すべての連続写像f  : X → Yは、 C( F )( φ ) = φ ∘ f という規則により、代数準同型 C( f ) : C ( Y ) → C ( X )を誘導する（すべてのφは C( Y ) に含まれる）。 

接線束と余接束

すべての微分可能多様体をその接束に、すべての滑らかな写像をその導関数に写す写像は、微分可能多様体の圏からベクトル束の圏への共変関手である。

この構成を点ごとに行うと、接空間が得られます。これは、点付き微分多様体の圏から実ベクトル空間の圏への共変関手です。同様に、余接空間は反変関手であり、本質的には接空間と上記の双対空間の合成です。

集団行動／代表

任意の群Gは、射がGの要素である単一の対象を持つ圏とみなすことができます。G からSetへの関手は、特定の集合、すなわちG集合に対するGの群作用に他なりません。同様に、 Gからベクトル空間の圏Vect K への関手_は、Gの線形表現です。一般に、関手G → C は、圏C内の対象に対するGの「作用」とみなすことができます。Cが群である場合、この作用は群準同型です。

リー代数

すべての実（複素）リー群にその実（複素）リー代数を割り当てることで、ファンクターが定義される。

テンソル積

C を固定体上のベクトル空間の圏とし、射を線形写像とすると、テンソル積は${\displaystyle V\otimes W}$両方の引数に関して共変なファンクターC × C → Cを定義する。 ^{[ 8 ]}

物忘れのひどい関数

群をその基底集合に、群準同型をその基底集合関数に写像するファンクターU  : Grp → Setはファンクターである。 ^{[ 9 ]}このような、何らかの構造を「忘れる」ファンクターは、忘却ファンクター と呼ばれる。別の例として、環をその基底加法アーベル群に写像するファンクターRng → Abがある。Rng の射（環準同型）はAbの射（アーベル群準同型）になる。

自由関数

忘却ファンクターとは反対の方向に向かうのが自由ファンクターです。自由ファンクターF  : Set → Grp は、すべての集合X をXによって生成される自由群に送ります。関数は自由群間の群準同型にマッピングされます。構造化集合に基づく多くの圏には自由構成が存在します。自由オブジェクトを参照してください。

準同型群

アーベル群の任意のペアA、Bに対して、 AからBへのすべての群準同型からなるアーベル群 Hom( A、B ) を割り当てることができます。これは、最初の引数で反変、2 番目の引数で共変なファンクターです。つまり、ファンクターAb ^op × Ab → Abです(ここでAb は群準同型を持つアーベル群のカテゴリを表します)。f : A ₁ → A ₂およびg : B ₁ → B ₂がAb内の射である場合、群準同型Hom( f、g ) : Hom( A ₂、B ₁ ) → Hom( A ₁、B ₂ )はφ ↦ g ∘ φ ∘ fで与えられます。Homファンクターを参照してください。  

表現可能なファンクター

前の例を任意のカテゴリCに一般化できます。Cのオブジェクトの任意のペアX 、 Y に対して、XからYへの射の集合Hom( X、Y )を割り当てることができます。これは、最初の引数で反変で、2 番目の引数で共変なSetへのファンクターを定義します。つまり、ファンクターC ^op × C → Setです。f : X ₁ → X ₂とg : Y ₁ → Y ₂がCの射である場合、マップHom( f、g ) : Hom( X ₂、Y ₁ ) → Hom( X ₁、Y ₂ )はφ ↦ g ∘ φ ∘ fで与えられます。   

このようなファンクターは表現可能ファンクターと呼ばれます。

CとDを圏とする。CからDへのすべての関手の集合は、ある圏の対象、すなわち関手圏を形成する。この圏における射は、関手間の自然変換である。

ファンクターは、普遍的な性質によって定義されることが多い。例えば、テンソル積、群やベクトル空間の直和と直積、自由群や加群の構成、直極限と逆極限などが挙げられる。極限と余極限の概念は、上記のいくつかを一般化するものである。

普遍的な構成は、しばしば随伴関手のペアを生み出す。

関数型プログラミングでは、ファンクターが時々登場します。たとえば、プログラミング言語Haskellには、既存の型間の関数( Haskell型のカテゴリFunctorであるHask上の射) ^{[ 10 ]}を新しい型間の関数にマッピングするために使用される多型関数であるクラスfmapがあります。^{[ 11 ]}

• アナファンクター
• プロファンクター
• ファンクター圏
• Kan拡張機能
• 擬似関数

• 「ファンクター」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• n Labのファンクターと、そこで議論されリンクされているバリエーションを参照してください。
• André Joyal、CatLab、圏論的数学の解説に特化したウィキプロジェクト
• Hillman, Chris (2001). "A Categorical Primer" . CiteSeerX 10.1.1.24.3264 . 1997年5月3日にオリジナルからアーカイブされました。 
• J. Adamek、H. Herrlich、G. Stecker、「抽象的および具体的なカテゴリー - 猫の喜び」Wayback Machineに2015年4月21日にアーカイブされました
• スタンフォード哲学百科事典：「圏論」―ジャン＝ピエール・マルキス著。豊富な参考文献付き。
• 圏論に関する学術会議一覧
• Baez, John, 1996, “ The Tale of n -categories. ” 高階カテゴリへの非公式な入門。
• WildCatsはMathematica用の圏論パッケージです。オブジェクト、射、圏、関手、自然変換、普遍性などの操作と可視化が可能です。
• キャスターズは、圏論に関するYouTubeチャンネルです。
• カテゴリー論、論理学、物理学の基礎に関連する講演を収録したビデオアーカイブ。
• 有限集合の圏における圏論的構成の例を生成するインタラクティブなウェブページ。