次元（ベクトル空間）

数学において、ベクトル空間Vの次元は、その基底体上のVの基底の濃度(すなわち、ベクトルの数)である。^{[ 1 ] [ 2 ]}他の種類の次元と区別するために、ハメル次元(ゲオルク・ハメルにちなんで) または代数次元と呼ばれることもある。

すべてのベクトル空間には基底が存在し、^{[ a ]}ベクトル空間のすべての基底は同じ濃度を持ちます。^{[ b ]}その結果、ベクトル空間の次元は一意に定義されます。${\displaystyle V}$と言われている次元が有限次元の場合${\displaystyle V}$有限であり、次元が無限である場合は、無限次元である。

ベクトル空間の次元${\displaystyle V}$フィールド全体にわたって${\displaystyle F}$次のように書くことができます${\displaystyle \dim _{F}(V)}$または${\displaystyle [V:F],}$「次元の${\displaystyle V}$以上${\displaystyle F}$"。 いつ${\displaystyle F}$文脈から推測できる次元は、一般的に次のように記述されます。${\displaystyle \dim(V)}$その代わり。

ベクトル空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$もっている $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$$標準基準 として、したがって$\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.}$より一般的には、${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,}$さらに一般的に言えば、${\displaystyle \dim _{F}(F^{n})=n}$あらゆる分野${\displaystyle F.}$

複素数​${\displaystyle \mathbb {C} }$これらは実数ベクトル空間と複素数ベクトル空間の両方です。これらの次元は基底体に依存し、${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2}$そして${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1}$例えば、1を基底とし、複素数をスカラー（ベクトル空間の体要素）とすると、1次元ベクトル空間が形成される。${\textstyle \{1,i\}}$を基底とし、実数をスカラーとして用いることで、2次元ベクトル空間が形成される。

次元を持つ唯一のベクトル空間${\displaystyle 0}$は${\displaystyle \{0\},}$零元のみからなるベクトル空間。

もし${\displaystyle W}$は、の線形部分空間である。${\displaystyle V}$、 それから${\displaystyle \dim(W)\leq \dim(V).}$

2つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すには、次の基準を使用できます。${\displaystyle V}$は有限次元ベクトル空間であり、${\displaystyle W}$は、の線形部分空間である。${\displaystyle V}$と${\displaystyle \dim(W)=\dim(V),}$それから${\displaystyle W=V.}$

スペース$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$標準ベースを持つ${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},}$どこ${\displaystyle e_{i}}$は${\displaystyle i}$対応する単位行列の 番目の列。したがって、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$寸法がある${\displaystyle n.}$

任意の 2 つの有限次元ベクトル空間${\displaystyle F}$同じ次元を持つものは同型である。それらの基底間の任意の全単射写像は、ベクトル空間間の全単射線形写像に一意に拡張できる。${\displaystyle B}$ある集合、次元のベクトル空間${\displaystyle |B|}$以上${\displaystyle F}$次のように構成できます。${\displaystyle F(B)}$すべての機能${\displaystyle f:B\to F}$そのため${\displaystyle f(b)=0}$有限個を除くすべて${\displaystyle b}$で${\displaystyle B.}$これらの関数は、要素と加算および乗算できます。${\displaystyle F}$望ましいものを得る${\displaystyle F}$-ベクトル空間。

次元に関する重要な結果は、線形写像のランク・ヌル性定理によって与えられる。

もし${\displaystyle F/K}$フィールド拡張である場合、${\displaystyle F}$特に、上のベクトル空間である${\displaystyle K.}$さらに、すべての${\displaystyle F}$-ベクトル空間${\displaystyle V}$また、${\displaystyle K}$ベクトル空間。次元は次の式で関連付けられます。 $${\displaystyle \dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).}$$ 特に、次元のすべての複素ベクトル空間${\displaystyle n}$次元の実ベクトル空間${\displaystyle 2n.}$

いくつかの公式は、ベクトル空間の次元を基底体の濃度と空間自体の濃度に関連付けています。${\displaystyle V}$体上のベクトル空間である${\displaystyle F}$そして、もしその次元が${\displaystyle V}$は、${\displaystyle \dim V,}$それから：

暗い場合${\displaystyle V}$有限であれば${\displaystyle |V|=|F|^{\dim V}.}$

暗い場合${\displaystyle V}$無限の場合${\displaystyle |V|=\max(|F|,\dim V).}$

ベクトル空間はマトロイドの特殊な場合と見なすことができ、後者には次元という明確な概念が存在する。加群の長さとアーベル群の階数は、いずれもベクトル空間の次元と類似した性質をいくつか持っている。

可換環のクルル次元は、ヴォルフガング・クルル（1899年- 1971年）にちなんで名付けられ、環内の素イデアルの増加列における厳密包含の最大数として定義される。

• フラクタル次元– 空間次元の実数値 
• クルル次元– 数学における、環の次元 
• マトロイドランク– マトロイドの独立集合の最大サイズ 
• ランク（線形代数）– 行列の列空間の次元 
• 位相次元– 空間の次元の位相的に不変な定義。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ。ルベーグ被覆次元とも呼ばれる。 

• アクサー、シェルドン（2015）。線形代数の正しい学び。数学学部教科書（第3 版）。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11079-0。

• MITオープンコースウェアにて、ギルバート・ストラングによるMIT線形代数講義「独立性、基底、次元」が公開されています。