層の像関数

数学、特に層理論（位相幾何学、論理学、代数幾何学などの分野に応用される領域）には、さまざまな意味で一緒に属する 層の像関数が 4 つあります。

位相空間の連続写像 f : X → Yと位相空間上のアーベル群の層のカテゴリSh(–)が与えられる。問題の関数は

• 直接像 f _∗  : Sh( X ) → Sh( Y )
• 逆像 f ^∗  : Sh( Y ) → Sh( X )
• コンパクトなサポートを持つ直接像 f _!  : Sh( X ) → Sh( Y )
• 例外的な逆像 Rf ^!  : D (Sh( Y ))→ D (Sh( X ))。

感嘆符は「shriek」（感嘆符の俗語）と発音されることが多く、マップは「f shriek」または「f lower shriek」および「f upper shriek」と呼ばれます。shriek mapも参照してください。

例外的な逆像は一般に導来カテゴリーのレベルでのみ定義されます。同様の考慮がスキーム上のエタール層にも当てはまります。

右図に示すように、関数は互いに随伴関係にある。ここで、 は通常通り、 FがGの左随伴関係にあること（つまり、G がFの右随伴関係にあること）を意味する。つまり、 ${\displaystyle F\leftrightarrows G}$

ホム( F ( A ), B ) ≅ ホム ( A , G ( B ))

2 つのカテゴリFとGによって随伴される任意の2 つのオブジェクトA、Bについて。

たとえば、f ^{∗ は}f _*の左随伴です。随伴関係の標準的な推論により、YとXに対してそれぞれ自然な単位射と余単位射が存在します。ただし、これらは同型になることはほとんどありません。以下の局所化の例を参照してください。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{*}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle f^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ヴェルディエ双対性は、それらの間に別のリンクを与えます。道徳的に言えば、それは「∗」と「！」を交換します。つまり、上記の概要では、対角線に沿って関数を交換します。たとえば、直接像は、コンパクトなサポートを持つ直接像と双対です。この現象は、倒錯層の理論で研究され、使用されます。

像関数のもう 1 つの便利な特性は、基底の変更です。および を誘導する連続写像およびが与えられると、標準同型 が存在します。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$${\displaystyle {\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y}$${\displaystyle {\bar {g}}:X\times _{Z}Y\rightarrow X}$${\displaystyle R{\bar {f}}_{*}R{\bar {g}}^{!}\cong Rf^{!}Rg_{*}}$

閉部分空間 i : Z ⊂ Xと相補 開部分集合 j : U ⊂ Xの特定の状況では、 j ^∗ = j ^!かつi _! = i _{∗であり、} X上の任意の層Fに対して、正確なシーケンスが得られるため、状況は単純化されます。

0 → j _! j ^∗ F → F → i _∗ i ^∗ F → 0

そのヴェルディエの二重の読み

イ_∗リ^！ F → F → Rj _∗ j ^∗ F → i _∗ Ri ^! F [1]、

X上の層の導来カテゴリにおける特別な三角形。

この場合の随伴関係は

${\displaystyle i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}}$

そして

${\displaystyle j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}}$。

• 6つの操作

• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190位相的な設定を扱う
• アーティン、マイケル(1972)。アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. ３．数学の講義ノート（フランス語）。 Vol. 305.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.vi+640。土井：10.1007/BFb0070714。ISBN 978-3-540-06118-2。 スキーム上のエタール層のケースを扱います。Exposé XVIII、セクション 3 を参照してください。
• ミルン、ジェームス S. (1980)、エタール コホモロジー、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08238-7エタール事件のもう一つの参考文献です。