Hom 関数

数学、特に圏論では、ホム集合（つまり、オブジェクト間の射の集合）は集合の圏に対する重要な関手を生み出します。これらの関手はホム関手と呼ばれ、圏論や数学の他の分野で数多くの応用があります。

C を局所的に小さいカテゴリ(つまり、ホムクラスが実際には集合であり、適切なクラスではないカテゴリ) とします。

C内のすべてのオブジェクトAとBに対して、集合のカテゴリへの 2 つの関数を次のように定義します。

関数 Hom(–, B ) はオブジェクトBの点の関数とも呼ばれます。

Hom の最初の引数を固定すると自然に共変関数が生成され、2 番目の引数を固定すると自然に反変関数が生成されることに注目してください。これは、射を構成する方法によって生じる結果です。

関数 Hom( A , –) と Hom(–, B ) のペアは自然な形で関連しています。任意の射のペアf  : B → B ′ とh  : A ′ → Aに対して、次の図が可換です。

どちらのパスもg  : A → Bをf  ∘  g  ∘  h  : A ′ → B ′に送信します。

上の図の可換性は、Hom(–, –)がC × CからSetへの双関手であり、最初の引数で反変で、2番目の引数で共変であることを意味する。同様に、Hom(–, –)は双関手であると言うこともできる。

Hom(–, –) : C ^op × C → Set

ここで、C ^{op は}Cの反対のカテゴリです。ドメインを形成するカテゴリを強調するために、Hom(–, –) の代わりに Hom _C (–, –)という表記が使用されることがあります。

上記の可換図を参照すると、すべての射影

h  : A ′ → A

自然な変化をもたらす

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ', –)

そしてあらゆる射影

f  : B → B ′

自然な変化をもたらす

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ')

米田の補題は、 Hom 関手間のすべての自然変換がこの形式であることを意味します。言い換えると、Hom 関手は、カテゴリCを関手カテゴリSet ^{C op}に完全かつ忠実に埋め込むことを可能にします(どの Hom 関手が使用されるかによって共変または反変になります)。

いくつかのカテゴリは、Hom関手のように振る舞うが、SetではなくカテゴリC自体の値を取る関手を持つ場合があります。このような関手は内部Hom関手と呼ばれ、次のように記述されることが多いです。

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

製品としての性質を強調するため、または

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

関数的な性質を強調するため、または単に小文字で表記される場合もあります。

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$例については、「関係のカテゴリ」を参照してください。

内部にHom関手を持つ圏は閉圏と呼ばれる。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$、

ここで、I は閉圏の単位対象である。閉モノイド圏の場合、これは のカリー化の概念に拡張され、すなわち、

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

ここで、 は、モノイドカテゴリを定義する内部積関数である双関数 です。同型性は、XとZ の両方で自然です。言い換えると、閉じたモノイドカテゴリでは、内部 Hom 関数は、内部積関数の随伴関数です。このオブジェクトは、内部 Homと呼ばれます。が直積である場合、オブジェクトは指数オブジェクトと呼ばれ、 と記述されることがよくあります。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \times }$${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$${\displaystyle Z^{Y}}$

内部ホムは連鎖すると、カテゴリの内部言語と呼ばれる言語を形成します。これらの最も有名なものは、単純に型付けされたラムダ計算（デカルト閉カテゴリの内部言語）と線形型システム（閉じた対称モノイドカテゴリの内部言語）です。

関数が

Hom(–, A ) : C ^op →セット

は前束である。同様に、Hom( A , –) は共前束である。

C内の何らかのAに対してHom( A , –)と自然に同型となる関数F  : C → Set は表現可能関数(または表現可能共層)と呼ばれます。同様に、Hom(–, A )と同等の反変関数は、共表現可能と呼ばれることがあります。

Hom(–, –) : C ^op × C → Set はprofunctorであり、具体的には恒等関数であることに注意してください。 ${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$

内部 hom 関数は極限を保存します。つまり、 は極限 を極限 に送信しますが、は の極限、つまりの余極限 を極限 に送信します。ある意味では、これは極限または余極限の定義として考えることができます。 ${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle C}$

エンドファンクタHom( E ,-): Set → Setにはモナドの構造を与えることができます。このモナドは環境(またはリーダー)モナドと呼ばれます。

Aがアーベル圏でA がAの対象である場合、 Hom _A ( A , –) はAからアーベル群の圏Abへの共変左完全関手である。 Aが射影的である場合に限り、 Hom A ( A , –)は完全である。^[2]

R を環、M を左R加群とする。関数 Hom _R ( M , –): Mod - R → Ab ^{[明確化が必要]は}テンソル積関数 – _R M : Ab → Mod - Rの随伴関数である。 ${\displaystyle \otimes }$

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