数学 の一分野である圏論 において、剛体圏 とは、すべての対象が剛体である、すなわち双対 X * (内部 Hom [ X , 1 ]) と自然な条件を満たす射 1 → X ⊗ X *を持つ モノイド 圏のことである。この圏は、右双対を持つか左双対を持つかに応じて、右剛体圏または左剛体圏と呼ばれる。これらは、アレクサンダー・グロタンディークに倣って、ネアントロ・サアベドラ・リバノがタナキアン圏に関する論文で最初に定義 し た。[ 1 ]
意味 剛性には少なくとも2つの同等の定義が存在する。
モノイド圏の対象Xは、対象 Y と射が存在する場合に左剛体と呼ばれます。η X : 1 → X ⊗ Y {\displaystyle \eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y} ϵ X : Y ⊗ X → 1 {\displaystyle \epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1} } X → η X ⊗ 私 d X （ X ⊗ Y ） ⊗ X → α X 、 Y 、 X − 1 X ⊗ （ Y ⊗ X ） → 私 d X ⊗ ϵ X X {\displaystyle X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X}
Y → 私 d Y ⊗ η X Y ⊗ （ X ⊗ Y ） → α X 、 Y 、 X （ Y ⊗ X ） ⊗ Y → ϵ X ⊗ 私 d Y Y {\displaystyle Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y}
これらは恒等式である。直角剛体も同様に定義される。
逆元とは、X ⊗ X −1 とX −1 ⊗ X の両方がモノイド圏の恒等対象1 と同型であるような対象X −1 のことである。対象X がテンソル積に関して左（または右）逆元X −1を持つ場合、それは左（または右）剛体であり、 X * = X −1 となる。
双対を取る操作は、剛体圏上の反変関手を与える。
用途 剛性の重要な応用例の一つは、剛性対象の自己準同型のトレース の定義である。トレースは任意のピボット圏 、すなわち双対を2回繰り返す関手である（ ）** が恒等関手と同型であるような剛性圏に対して定義できる。すると、任意の右剛性対象X と任意の他の対象Y に対して、同型を定義することができる。
ϕ X 、 Y : { H o m （ 1 、 X * ⊗ Y ） ⟶ H o m （ X 、 Y ） f ⟼ （ ϵ X ⊗ 私 d Y ） ∘ （ 私 d X ⊗ f ） {\displaystyle \phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.}
およびその相互同型
ψ X 、 Y : { H o m （ X 、 Y ） ⟶ H o m （ 1 、 X * ⊗ Y ） g ⟼ （ 私 d X * ⊗ g ） ∘ η X {\displaystyle \psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.}
すると任意の自己準同型写像に対してf : X → X {\displaystyle f:X\to X} f のトレースは、合成として定義されます。
t r f : 1 → ψ X 、 X （ f ） X * ⊗ X → γ X 、 X X ⊗ X * → ϵ X 1 、 {\displaystyle \mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,}
さらに、剛体の寸法を次のように定義することもできます。
薄暗い X := t r 私 d X {\displaystyle \dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}}
剛性は、内部 Hom との関係においても重要です。Xが左剛性オブジェクトである場合、[ X , Z ]の形のすべての内部 Hom が存在し、 Z ⊗ Y と同型です。特に、剛性圏では、すべての内部 Hom が存在します。
アプリケーション 純粋動機 のカテゴリーは、有効な純粋動機のカテゴリーを固定化することによって形成される。
参考文献 Davydov, AA (1998). 「モノイド圏と関手」. Journal of Mathematical Sciences . 88 (4): 458–472 . doi : 10.1007/BF02365309 . n Lab における 剛体モノイド圏イェッター、デイビッド N. (2001)。ファンクトリアルノット理論 。世界科学 。ISBN 981-02-4443-6 。 Fuchs, J.; Schwigert, C. (2003). "共形境界条件のための圏論" . Lepowsky, J.; Berman, S.; Huang, YZ.; Billig, Y. (編)『数学と物理学における頂点作用素代数 』Fields Institute Communications. Vol. 39. pp. 25–70 . arXiv : math/0106050 . CiteSeerX 10.1.1.234.7634 . doi : 10.1090/fic/039/03 . ISBN 978-0-8218-2856-4 . S2CID 15175857 . 
