数学では、線型形式のベクトル空間
数学 では 、任意の ベクトル空間 には、上のすべての 線型形式と、 点ごとの 加算および定数によるスカラー乗算のベクトル空間構造から構成される、 対応する 双対ベクトル空間 （または単に 双対空間 ）が存在します 。
五
{\displaystyle V}
五 、
{\displaystyle V,}
上記で定義した双対空間はすべてのベクトル空間に対して定義され、曖昧さを避けるために 代数的双対空間とも呼ばれます。 位相ベクトル空間 に対して定義される場合、 連続線型関数 に対応する双対空間の部分空間が存在し、これを 連続双対空間 と呼びます 。
双対ベクトル空間は、有限次元ベクトル空間での テンソル 解析 など、ベクトル空間を使用する数学の多くの分野で応用されています。関数のベクトル空間（通常は無限次元）に適用すると、双対空間は 測度 、 超関数 、 ヒルベルト空間を 記述するために使用されます。したがって、双対空間は 関数解析 における重要な概念です 。
双対を表す 初期の用語には、 極性空間 [Hahn 1927]、 結合空間 、 随伴空間 [Alaoglu 1940]、 転移空間 [Schauder 1930] および [Banach 1932]などがある 。 双対という用語は、 Bourbaki 1938 に由来する。
代数的双対空間 体 上の任意の ベクトル空間 が与えられたとき 、 （代数的）双対空間 [2] （ または [3]または [4] [5] と表記される） [nb 1]は、すべての 線型写像 （ 線型汎関数 ）の集合として定義される。線型写像はベクトル空間 準同型 なので 、双対空間は と表記される 。 [3]
双対空間 自体は、次を満たす加算とスカラー乗算を備えたとき、 上のベクトル空間になる 。
五
{\displaystyle V}
ふ
{\displaystyle F}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
五
∨
{\displaystyle V^{\lor}}
五 ′
{\displaystyle V'}
φ : 五 → ふ
{\displaystyle \varphi :V\to F}
ホーム （ 五 、 ふ ）
{\displaystyle \hom(V,F)}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
ふ
{\displaystyle F}
（ φ + ψ ） （ x ）
= φ （ x ） + ψ （ x ）
（ 1つの φ ） （ x ）
= 1つの
（
φ （ x ）
）
{\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi +\psi )(x)&=\varphi (x)+\psi (x)\\(a\varphi )(x)&=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}}
すべての 、 、 に対して 。
φ 、 ψ ∈
五
∗
{\displaystyle \varphi ,\psi \in V^{*}}
x ∈ 五
{\displaystyle x\in V}
1つの ∈ ふ
{\displaystyle a\in F}
代数的双対空間の要素は、 共ベクトル 、 1 形式 、または 線型形式 と呼ばれることもあります 。
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
双対空間における 汎関数 と の要素 とのペアリングは 、括弧 [6]
またはで表されることがあります 。 [7] このペアリングは、 自然なペアリング と呼ばれる非退化 双線型写像 [nb 2] を定義します。
φ
{\displaystyle \varphi}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
x
{\displaystyle x}
五
{\displaystyle V}
φ （ x ） = [ x 、 φ ]
{\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}
φ （ x ） = ⟨ x 、 φ ⟩
{\displaystyle \varphi (x)=\langle x,\varphi \rangle }
⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ : 五 ×
五
∗
→ ふ
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{*}\to F}
有限次元の場合 が有限次元の 場合、 は と同じ次元を持ちます 。 の 基底 が与えられれば、 の特定の基底を構築することができ 、これを 双対基底 と呼びます。この双対基底は上の線型関数の 集合であり 、関係式によって定義されます。
五
{\displaystyle V}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
五
{\displaystyle V}
{
e
1
、 … 、
e
ん
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}
五
{\displaystyle V}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
{
e
1
、 … 、
e
ん
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}
五
{\displaystyle V}
e
私
（
ｃ
1
e
1
+ ⋯ +
ｃ
ん
e
ん
） =
ｃ
私
、 私 = 1 、 … 、 ん
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}
係数の任意の選択に対して 。特に、これらの係数のそれぞれを1に等しくし、他の係数を0にすると、方程式のシステムが得られます。
ｃ
私
∈ ふ
{\displaystyle c^{i}\in F}
e
私
（
e
じ
） =
δ
じ
私
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}
ここで は クロネッカーのデルタ 記号です。この性質は 双直交性 と呼ばれます 。
δ
じ
私
{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
たとえば、 が である場合 、その基底を とします 。基底ベクトルは互いに直交しません。すると、 および は 、 、 、 、 となる 1 形式 (ベクトルをスカラーにマップする関数) になります 。(注: ここでの上付き文字は指数ではなくインデックスです。) この方程式系は、行列表記を使用して次のように表すことができます。
V
{\displaystyle V}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
{
e
1
=
(
1
/
2
,
1
/
2
)
,
e
2
=
(
0
,
1
)
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}=(1/2,1/2),\mathbf {e} _{2}=(0,1)\}}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}
e
1
(
e
1
)
=
1
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{1})=1}
e
1
(
e
2
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{2})=0}
e
2
(
e
1
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{1})=0}
e
2
(
e
2
)
=
1
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{2})=1}
[
e
11
e
12
e
21
e
22
]
[
e
11
e
21
e
12
e
22
]
=
[
1
0
0
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{11}&e^{12}\\e^{21}&e^{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{11}&e_{21}\\e_{12}&e_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}
最初の行列の未知の値を解くと、双対基底は であることがわかります 。 およびは関数なので、 および と 書き直すことができます 。
{
e
1
=
(
2
,
0
)
,
e
2
=
(
−
1
,
1
)
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1}=(2,0),\mathbf {e} ^{2}=(-1,1)\}}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}
e
1
(
x
,
y
)
=
2
x
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(x,y)=2x}
e
2
(
x
,
y
)
=
−
x
+
y
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(x,y)=-x+y}
一般に、 が のとき 、 が列が基底ベクトルである行列であり、 が列が双対基底ベクトルである行列である場合、
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
E
=
[
e
1
|
⋯
|
e
n
]
{\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}
E
^
=
[
e
1
|
⋯
|
e
n
]
{\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}
E
^
T
⋅
E
=
I
n
,
{\displaystyle {\hat {E}}^{\textrm {T}}\cdot E=I_{n},}
ここで は の 単位 行列である 。これら2つの基底関数の双直交性により、任意の点 は次のように表される。
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
{\displaystyle n}
x
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} \in V}
x
=
∑
i
⟨
x
,
e
i
⟩
e
i
=
∑
i
⟨
x
,
e
i
⟩
e
i
,
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} ^{i}\rangle \mathbf {e} _{i}=\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{i}\rangle \mathbf {e} ^{i},}
基底ベクトルが互いに直交していない場合でも同様です。厳密に言えば、上記の記述は、以下の § 双線型積と双対空間 で説明するように、内積とそれに対応する双対性ペアリングが導入されて初めて意味を持ちます 。
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
特に、は 実数 の列の空間として解釈することができ、その双対空間は通常、 実数 の 行 の空間として記述されます。このような行は、通常の 行列の乗算 によって に線型関数として作用します 。これは、関数がすべての -ベクトルを 実数 にマップするためです 。次に、この関数を行列 、および と見なして、それぞれ 行列 、および （当然のことながら、実数） とすると、 次元上の理由により、は行列で ある必要があります。 つまり、 は行ベクトルである必要があります。
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
M
{\displaystyle M}
x
{\displaystyle x}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
y
{\displaystyle y}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
M
x
=
y
{\displaystyle Mx=y}
M
{\displaystyle M}
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
M
{\displaystyle M}
が平面上の幾何学的 ベクトル の空間からなる 場合、 の要素の 等高線は における平行線の族を形成します 。これは、範囲が 1 次元であるため、範囲内のすべての点が任意の 1 つの非ゼロ要素の倍数となるためです。したがって、 の要素は、 平面を覆う特定の平行線の族として直感的に考えることができます。与えられたベクトル上の関数の値を計算するには、ベクトルがどの線上にあるかを判断するだけで十分です。非公式には、これはベクトルが何本の線を横切るかを「数える」ことです。より一般的には、 が 任意の次元のベクトル空間である場合、 における線型関数の 等高線集合は における平行超平面であり 、ベクトルに対する線型関数の作用はこれらの超平面で視覚化できます。 [8]
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
{\displaystyle V}
無限次元の場合 が有限次元ではないが、 無限集合 によってインデックス付けされた 基底 [nb 3] を持つ場合 、有限次元の場合と同じ構成により、双対空間の 線形独立な 元 ( ) が生成されますが、それらは基底を形成しません。
V
{\displaystyle V}
e
α
{\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}
A
{\displaystyle A}
e
α
{\displaystyle \mathbf {e} ^{\alpha }}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in A}
例えば、有限個の非ゼロ要素のみを含む実数列 を要素とする 空間 を考えます。この空間は 、自然数 でインデックス付けされた基底を持ちます。 の場合 、 は、 - 番目の位置 (1) を除いてすべてゼロで構成される列です。 の 双対 空間は であり ( と同型) 、 すべての 実数列 の空間です。各実数列は、 の要素が 数 に送られる
関数を定義します。
R
∞
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
i
{\displaystyle i}
R
∞
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
R
∞
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}
∑
n
a
n
x
n
,
{\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n},}
これは有限和です。なぜなら、非ゼロの数は有限個しかないからです 。 の 次元は 可算無限 です が、 には 可算基数がありません。
x
n
{\displaystyle x_{n}}
R
∞
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
この観察は、 任意の体上の任意の [nb 3] 無限次元ベクトル空間に一般化される 。基底の選択は、 有限個の に対してのみ が非ゼロとなる ような 関数の 空間と 同一視され 、そのような関数は ベクトルと同一視される。
V
{\displaystyle V}
F
{\displaystyle F}
{
e
α
:
α
∈
A
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{\alpha }:\alpha \in A\}}
V
{\displaystyle V}
(
F
A
)
0
{\displaystyle (F^{A})_{0}}
f
:
A
→
F
{\displaystyle f:A\to F}
f
α
=
f
(
α
)
{\displaystyle f_{\alpha }=f(\alpha )}
α
∈
A
{\displaystyle \alpha \in A}
f
{\displaystyle f}
∑
α
∈
A
f
α
e
α
{\displaystyle \sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}
（の 仮定により和は有限であり 、 基底の定義により任意の はこのように一意に表すことができます）。
V
{\displaystyle V}
f
{\displaystyle f}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
の双対空間は、 から までの すべての 関数 の 空間と同一視できる 。 上の線型関数 は を基準としてとる 値によって一意に決定され 、 を持つ任意の関数は 上の線型関数を 次のように
定義する。
V
{\displaystyle V}
F
A
{\displaystyle F^{A}}
A
{\displaystyle A}
F
{\displaystyle F}
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
θ
α
=
T
(
e
α
)
{\displaystyle \theta _{\alpha }=T(\mathbf {e} _{\alpha })}
V
{\displaystyle V}
θ
:
A
→
F
{\displaystyle \theta :A\to F}
θ
(
α
)
=
θ
α
{\displaystyle \theta (\alpha )=\theta _{\alpha }}
T
{\displaystyle T}
V
{\displaystyle V}
T
(
∑
α
∈
A
f
α
e
α
)
=
∑
α
∈
A
f
α
T
(
e
α
)
=
∑
α
∈
A
f
α
θ
α
.
{\displaystyle T\left(\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }.}
再び、がゼロでないのは有限個の に対してのみな ので、合計は有限です 。
f
α
{\displaystyle f_{\alpha }}
α
{\displaystyle \alpha }
集合は （本質的に定義により） （それ自身の1次元ベクトル空間として見た） の無限個のコピーの 直和 と同一視され、 によってインデックス付けされる。つまり、線型同型が存在する。
(
F
A
)
0
{\displaystyle (F^{A})_{0}}
F
{\displaystyle F}
A
{\displaystyle A}
V
≅
(
F
A
)
0
≅
⨁
α
∈
A
F
.
{\displaystyle V\cong (F^{A})_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F.}
一方、 は（これも定義により）、 を添え字とする の無限個のコピーの 直積で あり、したがって同一視は
F
A
{\displaystyle F^{A}}
F
{\displaystyle F}
A
{\displaystyle A}
V
∗
≅
(
⨁
α
∈
A
F
)
∗
≅
∏
α
∈
A
F
∗
≅
∏
α
∈
A
F
≅
F
A
{\displaystyle V^{*}\cong \left(\bigoplus _{\alpha \in A}F\right)^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}
は、（加群 の）直和と 直積を
関連付ける 一般的な結果 の特殊なケースです。
ベクトル空間が有限次元でない場合、その（代数的）双対空間は、 常に 元のベクトル空間よりも大きな次元（ 基数 として）を持ちます。これは、後述の連続双対空間の場合とは対照的です。連続双対空間の場合、元のベクトル空間が無限次元であっても、元のベクトル空間と 同型に なることがあります。
この次元間の不等性の証明は、次のようになります。
が無限次元 -ベクトル空間である 場合、 基数 の算術的性質から 次のことが分かる。
V
{\displaystyle V}
F
{\displaystyle F}
d
i
m
(
V
)
=
|
A
|
<
|
F
|
|
A
|
=
|
V
∗
|
=
m
a
x
(
|
d
i
m
(
V
∗
)
|
,
|
F
|
)
,
{\displaystyle \mathrm {dim} (V)=|A|<|F|^{|A|}=|V^{\ast }|=\mathrm {max} (|\mathrm {dim} (V^{\ast })|,|F|),}
ここで、基数は絶対値 として表される 。ことを証明するには、カントールの対角線論証 に似た議論で証明できること を証明すれば十分である 。 [9]双対数の正確な次元は エルデシュ・カプランスキー の定理 によって与えられる 。
d
i
m
(
V
)
<
d
i
m
(
V
∗
)
,
{\displaystyle \mathrm {dim} (V)<\mathrm {dim} (V^{*}),}
|
F
|
≤
|
d
i
m
(
V
∗
)
|
,
{\displaystyle |F|\leq |\mathrm {dim} (V^{\ast })|,}
双線型積と双対空間 V が有限次元で あれば、 V は V ∗ と同型である 。しかし、一般にこれら2つの空間の間には 自然な同型性 はない。 [10] V 上の 任意 の双線型形式 ⟨·,·⟩は、 V をその双対空間に
写像する。
v
↦
⟨
v
,
⋅
⟩
{\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }
ここで右辺は、 各 w ∈ V を⟨ v , w ⟩ に写像する V 上の汎関数として定義される。言い換えれば、双線型形式は線型写像を決定する。
Φ
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
→
V
∗
{\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}
定義
[
Φ
⟨
⋅
,
⋅
⟩
(
v
)
,
w
]
=
⟨
v
,
w
⟩
.
{\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}
双線型形式が 非退化で あれば、これは V ∗ の部分空間への同型である。 V が有限次元であれば、これは V ∗全体への同型である。逆に、 V から V ∗ の部分空間（ V が有限次元であれば V ∗ 全体）への 同型は、 次のように
V 上の 唯一の非退化双線型形式を定義する。
Φ
{\displaystyle \Phi }
⟨
⋅
,
⋅
⟩
Φ
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}
⟨
v
,
w
⟩
Φ
=
(
Φ
(
v
)
)
(
w
)
=
[
Φ
(
v
)
,
w
]
.
{\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}
したがって、 V ∗ の（または全体の）部分空間への Vの同型と、 V 上の非退化双線型形式 との間には1対1の対応があります 。
ベクトル空間 V が 複素 体上にある場合、双線型形式ではなく 二乗線型形式 を考える方が自然な場合があります 。その場合、与えられた二乗線型形式 ⟨·,·⟩は、 V と双対空間の
複素共役 と の同型を決定します。
Φ
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
→
V
∗
¯
.
{\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}
双対空間の共役は、すべての加法複素数値関数 f : V → C の集合と同一視することができ 、
V
∗
¯
{\displaystyle {\overline {V^{*}}}}
f
(
α
v
)
=
α
¯
f
(
v
)
.
{\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}
ダブルデュアルへの注入 から 二重双対 への 自然な 準同型 が存在し 、 これは すべてのに対して によって定義されます 。言い換えると、 が によって定義される評価写像である場合、 は 写像 として定義されます 。この写像は 常に に 単射で あり、 [注 3] が 有限次元である場合は常に 同型 です 。 [11]実際、有限次元ベクトル空間とその二重双対との同型は、 自然同型
の典型的な例です 。無限次元ヒルベルト空間は、その代数的二重双対とは同型ではありませんが、その連続二重双対とは同型です。
Ψ
{\displaystyle \Psi }
V
{\displaystyle V}
V
∗
∗
=
{
Φ
:
V
∗
→
F
:
Φ
l
i
n
e
a
r
}
{\displaystyle V^{**}=\{\Phi :V^{*}\to F:\Phi \ \mathrm {linear} \}}
(
Ψ
(
v
)
)
(
φ
)
=
φ
(
v
)
{\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}
v
∈
V
,
φ
∈
V
∗
{\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}
e
v
v
:
V
∗
→
F
{\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}
φ
↦
φ
(
v
)
{\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}
Ψ
:
V
→
V
∗
∗
{\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}
v
↦
e
v
v
{\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}
Ψ
{\displaystyle \Psi }
V
{\displaystyle V}
線形写像の転置 f : V → W が線型写像 である 場合 、 転置 写像（または 双対写像 ） f ∗ : W ∗ → V ∗ は次のように定義される。
f
∗
(
φ
)
=
φ
∘
f
{\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}
任意の に対して となります。 における 結果として得られる関数は に沿った の プルバック と呼ばれます 。
φ
∈
W
∗
{\displaystyle \varphi \in W^{*}}
f
∗
(
φ
)
{\displaystyle f^{*}(\varphi )}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
φ
{\displaystyle \varphi }
f
{\displaystyle f}
すべてのおよび に対して次の恒等式が成り立ちます 。
φ
∈
W
∗
{\displaystyle \varphi \in W^{*}}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
[
f
∗
(
φ
)
,
v
]
=
[
φ
,
f
(
v
)
]
,
{\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}
ここで、左側の括弧[·,·]は V とその双対空間の自然なペアリングであり、右側の括弧[·,·]は W とその双対空間の自然なペアリングです。この恒等式は転置 [12]を特徴づけ、形式的には 随伴 の定義に似ています 。
割り当て f ↦ f ∗ は 、 Vから W への 線型作用素の空間と W ∗ からV ∗ への 線型作用素の空間との間の 単射線 型写像を生成する 。この準同型は、 W が有限次元である 場合に限り 同型である。 V = W の場合、線型写像の空間は実際には 写像の合成による 代数 であり 、割り当ては代数の 反準同型 、つまり ( fg ) ∗ = g ∗ f ∗ である。圏論 の言語では 、ベクトル空間の双対と線型写像の転置を取ることは、したがって、 F 上のベクトル空間の圏からそれ自身への 反変関手 である。二重双対への自然な注入を使用して、
( f ∗ ) ∗ を f と 同一視することができる。
線型写像 f が V と W の2つの基底に関する 行列 A で表される場合 、 f ∗ は W ∗ と V ∗ の双対基底に関する 転置 行列 A T で表されるため 、この名前が付けられます。あるいは、 f が 列ベクトルの左側に作用する A で表されるのと同様に、 f ∗ は行 ベクトルの右側に作用する同じ行列によって表されます。これらの観点は、列ベクトルの空間と行ベクトルの双対空間を同一視する
R n 上の標準内積によって関連しています。
商空間と消滅空間 を のサブセットと します 。 における の 消滅子 (ここでは と表記) は、 すべての に対して となる 線型関数の集合です 。つまり、 は への制限が 消える すべての線型関数から構成されます。有限次元ベクトル空間内では、消滅子は 直交補集合 と双対 (同型) です 。
S
{\displaystyle S}
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
S
0
{\displaystyle S^{0}}
f
∈
V
∗
{\displaystyle f\in V^{*}}
[
f
,
s
]
=
0
{\displaystyle [f,s]=0}
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
S
0
{\displaystyle S^{0}}
f
:
V
→
F
{\displaystyle f:V\to F}
S
{\displaystyle S}
f
|
S
=
0
{\displaystyle f|_{S}=0}
部分集合の消滅子はそれ自体がベクトル空間である。零ベクトルの消滅子は双対空間全体である: 、そして空間全体の消滅子は零共ベクトルである: 。さらに、消滅子を の部分集合に割り当てると 包含関係が逆転するため、 であれば、
{
0
}
0
=
V
∗
{\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}
V
0
=
{
0
}
⊆
V
∗
{\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}
V
{\displaystyle V}
{
0
}
⊆
S
⊆
T
⊆
V
{\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V}
{
0
}
⊆
T
0
⊆
S
0
⊆
V
∗
.
{\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}
と が の
2つの部分集合である 場合、
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
V
{\displaystyle V}
A
0
+
B
0
⊆
(
A
∩
B
)
0
.
{\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}
が によってインデックス付けされた の部分集合の族であり、 何らかのインデックス集合に属している 場合 、
(
A
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}
V
{\displaystyle V}
i
{\displaystyle i}
I
{\displaystyle I}
(
⋃
i
∈
I
A
i
)
0
=
⋂
i
∈
I
A
i
0
.
{\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}
特に 、および が
の部分空間である場合、
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
V
{\displaystyle V}
(
A
+
B
)
0
=
A
0
∩
B
0
{\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}
および [注3]
(
A
∩
B
)
0
=
A
0
+
B
0
.
{\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}
が有限次元で ベクトル部分空間 である 場合 、
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
W
00
=
W
{\displaystyle W^{00}=W}
二重双対同型の下で第2の双対空間の像と 同一視した後 。特に、消滅子を形成することは、 有限次元ベクトル空間の部分集合の格子上の
ガロア接続です。
W
{\displaystyle W}
V
≈
V
∗
∗
{\displaystyle V\approx V^{**}}
が の部分空間である 場合、 商 空間は それ自体がベクトル空間であるため、双対を持つ。 第一同型定理 により、関数 が を因数分解できるのは、 が の 核 に含まれる 場合のみで ある。したがって、同型が存在する。
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
V
/
W
{\displaystyle V/W}
f
:
V
→
F
{\displaystyle f:V\to F}
V
/
W
{\displaystyle V/W}
W
{\displaystyle W}
f
{\displaystyle f}
(
V
/
W
)
∗
≅
W
0
.
{\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}
特別な結果として、 が 2 つの部分空間 との 直和 である場合 、 は と の直和になります 。
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
A
0
{\displaystyle A^{0}}
B
0
{\displaystyle B^{0}}
次元解析 双対空間は「負」次元空間に類似しています。最も簡単に言えば、ベクトルは 自然なペアリングによって
共ベクトルとペアになってスカラーを得ることができるため、 分数を約す のと同様に、共ベクトルはベクトルの次元を「キャンセル」できます 。したがって、直和は 次元空間 ですが( が 次元の場合)、 は 次元空間として動作し、その次元は の次元に対してキャンセルできます 。これは テンソル収縮 によって形式化されます。
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
φ
∈
V
∗
{\displaystyle \varphi \in V^{*}}
⟨
x
,
φ
⟩
:=
φ
(
x
)
∈
F
{\displaystyle \langle x,\varphi \rangle :=\varphi (x)\in F}
V
⊕
V
∗
{\displaystyle V\oplus V^{*}}
2
n
{\displaystyle 2n}
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
(
−
n
)
{\displaystyle (-n)}
V
{\displaystyle V}
これは物理学において次元解析 によって生じ 、そこでは双対空間は逆単位を持ちます。 [13] 自然なペアリングでは、これらの単位は打ち消し合い、結果として得られるスカラー値は予想どおり 無次元 に なります。たとえば、（連続） フーリエ解析 、またはより広義には 時間周波数解析 では、 [nb 4] 単位時間が
t
{\displaystyle t}
である 1 次元ベクトル空間が与えられると 、双対空間は 周波数 の単位、つまり 単位時間 あたりの発生回数（
1
/
t
{\displaystyle 1/t}
単位）を持ちます。たとえば、時間が 秒 で測定される場合、対応する双対単位は 秒の逆数 です。つまり、3 秒間に 1 秒あたり 2 回発生するイベントは合計 6 回発生し、 に対応します 。同様に、主空間が長さを測定する場合、双対空間は 長さの逆数を 測定します。
3
s
⋅
2
s
−
1
=
6
{\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}
連続デュアルスペース 位相ベクトル空間 を扱う場合 、 空間 から基底体 (または) への 連続 線型関数が特に重要です。これにより、「連続双対空間」または「位相双対」という概念が生じます。これは、 と表記される代数双対空間 の線型部分空間です。 ユークリッド n 空間などの 有限次元 ノルムベクトル空間または位相ベクトル空間 では、 連続双対と代数双対は一致します。ただし、 不連続線型写像の例で示されるように、これは無限次元ノルム空間では当てはまりません。ただし、 位相ベクトル空間 の理論では、 「連続双対空間」および「位相双対空間」という用語は、「双対空間」に置き換えられることがよくあります。
F
=
C
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
V
′
{\displaystyle V'}
位相ベクトル空間 の場合 、 その 連続双対空間 [14] または 位相双対空間 [15] あるいは 単に 双対空間 [14] [15] [16] [17] （位相ベクトル空間の理論の意味で） は、すべての連続線型関数の成す空間として定義されます 。
V
{\displaystyle V}
V
′
{\displaystyle V'}
φ
:
V
→
F
{\displaystyle \varphi :V\to {\mathbb {F} }}
連続双対空間の重要な例としては、コンパクトにサポートされたテスト関数 の空間 とその双対である任意 分布 の空間 （一般化関数）、任意テスト関数の空間 とその双対である コンパクトにサポートされた分布の空間、 一般化関数 の理論における急速に減少するテスト関数の空間である シュワルツ空間 と その双対である 緩和分布 （緩やかに増加する分布）の空間が挙げられます 。
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
D
′
,
{\displaystyle {\mathcal {D}}',}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
,
{\displaystyle {\mathcal {E}}',}
S
,
{\displaystyle {\mathcal {S}},}
S
′
,
{\displaystyle {\mathcal {S}}',}
プロパティ Xが ハウス ドルフ位相ベクトル空間 （TVS）である 場合、 X の連続双対空間は X の 完備化 の連続双対空間と同一である 。
デュアル上のトポロジー 位相ベクトル空間 の 連続双対 上に位相を導入するための標準的な構成法がある。 の 有界部分 集合の 集合を固定する。これは からの集合上の一様収束の 位相を与える。 または同じことであるが、 の形式の
半ノルムによって生成される位相を与える。
V
′
{\displaystyle V'}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
A
,
{\displaystyle {\mathcal {A}},}
‖
φ
‖
A
=
sup
x
∈
A
|
φ
(
x
)
|
,
{\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}
ここで は 上の連続線型関数であり 、 クラス
φ
{\displaystyle \varphi }
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
A
.
{\displaystyle {\mathcal {A}}.}
これは、関数のネットが 関数に近づくの は 、
φ
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
φ
{\displaystyle \varphi }
V
′
{\displaystyle V'}
for all
A
∈
A
‖
φ
i
−
φ
‖
A
=
sup
x
∈
A
|
φ
i
(
x
)
−
φ
(
x
)
|
⟶
i
→
∞
0.
{\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\qquad \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}
通常 (必ずしもそうとは限りませんが)、クラスは 次の条件を満たす必要があります。
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
の 各点は 何らかの集合に属します 。
x
{\displaystyle x}
V
{\displaystyle V}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
for all
x
∈
V
there exists some
A
∈
A
such that
x
∈
A
.
{\displaystyle {\text{ for all }}x\in V\quad {\text{ there exists some }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}x\in A.}
2 つの集合 と はそれぞれ 何らかの集合 に含まれます 。
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
B
∈
A
{\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
C
∈
A
{\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}
for all
A
,
B
∈
A
there exists some
C
∈
A
such that
A
∪
B
⊆
C
.
{\displaystyle {\text{ for all }}A,B\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ there exists some }}C\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}A\cup B\subseteq C.}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
スカラーによる乗算の演算に対して閉じている：
for all
A
∈
A
and all
λ
∈
F
such that
λ
⋅
A
∈
A
.
{\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ and all }}\lambda \in {\mathbb {F} }\quad {\text{ such that }}\lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}
これらの要件が満たされる場合、対応する位相は ハウスドルフであり、集合
V
′
{\displaystyle V'}
U
A
=
{
φ
∈
V
′
:
‖
φ
‖
A
<
1
}
,
for
A
∈
A
{\displaystyle U_{A}~=~\left\{\varphi \in V'~:~\quad \|\varphi \|_{A}<1\right\},\qquad {\text{ for }}A\in {\mathcal {A}}}
地域拠点を形成する。
ここでは最も重要な 3 つの特殊なケースを示します。
上の 強位相は 、 内の 有界部分集合 上の一様収束の位相です (したがって、ここでは 内のすべての有界部分集合のクラスとして を選択できます )。
V
′
{\displaystyle V'}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
がノルムベクトル空間 （例えば バナッハ空間 や ヒルベルト空間 ）である 場合 、 上の強位相は ノルム（実際はスカラー体完備であればバナッハ空間）であり、ノルムは
V
{\displaystyle V}
V
′
{\displaystyle V'}
‖
φ
‖
=
sup
‖
x
‖
≤
1
|
φ
(
x
)
|
.
{\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}
上の ステレオタイプ位相は 、 内の 完全に有界な集合 上の一様収束の位相です (したがって、ここでは 内のすべての完全に有界な部分集合のクラスとして を選択できます )。
V
′
{\displaystyle V'}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
上の 弱位相は 、 の有限部分集合上の一様収束の位相です (したがって、ここで は のすべての有限部分集合のクラスとして を選択できます )。
V
′
{\displaystyle V'}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
V
{\displaystyle V}
上の位相のこれら 3 つの選択はそれぞれ、 位相ベクトル空間の
反射性特性 の変形につながります。
V
′
{\displaystyle V'}
が強位相 を持つ 場合 、対応する反射性の概念は標準的なものである。この意味で反射的な空間は単に 反射的と 呼ばれる。 [18]
V
′
{\displaystyle V'}
がステレオタイプ双対位相を備えている場合、対応する反射性が ステレオタイプ空間 の理論で提示されます 。この意味で反射的な空間は ステレオタイプ と呼ばれます。
V
′
{\displaystyle V'}
が弱位相 を持つ 場合、対応する反射性は 双対 理論で提示される 。 [19] この意味で反射的な空間は、弱位相を持つ任意の（ハウスドルフ）局所凸空間である。 [20]
V
′
{\displaystyle V'}
例 1 < p < ∞を実数とし、すべての 数列 a = ( a n ) のバナッハ空間 ℓ pを 考える。
‖
a
‖
p
=
(
∑
n
=
0
∞
|
a
n
|
p
)
1
p
<
∞
.
{\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}
数 q を 1/ p + 1/ q = 1 で定義します。すると、 ℓ p の連続双対は自然に ℓ q と同一視されます 。つまり、元 が与えられた 場合、 ℓ q の対応する元は、 n 番目の項 が 1 で、その他がすべて 0 である 数列です。逆に、元 a = ( a n ) ∈ ℓ q が与えられた場合、 ℓ p 上の 対応する連続線形関数 は次のように定義されます
。
φ
∈
(
ℓ
p
)
′
{\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}
(
φ
(
e
n
)
)
{\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}
e
n
{\displaystyle \mathbf {e} _{n}}
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
b
)
=
∑
n
a
n
b
n
{\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}
すべてのb = ( b n ) ∈ℓp に対して （ ヘルダーの不等式 を 参照）。
同様に、 ℓ 1の連続双対は ℓ ∞ (有界シーケンスの空間) と自然に同一視されます。さらに、バナッハ空間 c ( 最大ノルムを持つすべての 収束 シーケンス で構成される ) と c 0 (ゼロに収束するシーケンス) の連続双対は、両方とも ℓ 1 と自然に同一視されます。
リースの表現定理 によれば、ヒルベルト空間の連続双対は、元の空間と 反同型の ヒルベルト空間となる。これにより、物理学者が 量子力学 の数学的定式化に使用する ブラケット表記 が生まれる 。
リース・マルコフ・角谷表現定理 により 、連続関数の特定の空間の連続双対は測度を使用して記述できます。
連続線形写像の転置 T : V → W が 2つの位相ベクトル空間間の連続線型写像である 場合、（連続）転置 T′ : W′ → V′ は前と同じ式で定義されます。
T
′
(
φ
)
=
φ
∘
T
,
φ
∈
W
′
.
{\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}
結果として得られる関数 T′ ( φ )は V′ に含まれる 。 T → T′ の割り当ては、 Vから W への 連続線型写像の空間と W′から V′ への 線型写像の空間との間の線型写像を生成する 。 T と U が 合成可能な連続線型写像である場合、
(
U
∘
T
)
′
=
T
′
∘
U
′
.
{\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}
V と W が ノルム空間である場合、 L ( W′ , V′ ) の転置のノルムは L ( V , W ) の T のノルムに等しくなります。転置のいくつかの特性は 、ハーン・バナッハの定理 に依存します 。たとえば、有界線型写像 T が 稠密な範囲を持つのは、転置 T′ が単射である場合に限ります。
T が 2つのバナッハ空間 V と W の間の コンパクト 線型写像である 場合 、転置 T′ はコンパクトです。これはアルツェラ・アスコリの定理 を使って証明できます 。
V が ヒルベルト空間である とき、 V から その連続双対 V′ への反線型同型i V が存在する。 V 上の 任意の有界線型写像 T に対して、転置演算子と 随伴 演算子は次のように結び付けられる。
i
V
∘
T
∗
=
T
′
∘
i
V
.
{\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}
T が 2 つの位相ベクトル空間 V と W の 間の連続線型写像である場合、 W′ と V′ が 「両立する」位相を備えているときは、転置 T′ は 連続です 。たとえば、 X = V および X = W のとき、両方の双対 X′ は X の有界集合上で一様収束する 強位相 β ( X′ , X ) を持つか、または両方とも X 上で点ごとに 収束する弱 ∗ 位相 σ ( X′ , X ) を持ちます。転置 T′は、 β ( W′ , W ) から β ( V′ , V ) へ 、または σ ( W′ , W )から σ ( V′ , V ) へ連続です 。
殲滅者 W が ノルム空間 V の閉線型部分空間であると仮定し 、 V′ における W の消滅を考える。
W
⊥
=
{
φ
∈
V
′
:
W
⊆
ker
φ
}
.
{\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}
すると、商 V / W の双対はW ⊥ と同一視でき 、 Wの双対は商 V′ / W ⊥ と同一視できる 。 [21]
実際、 P を V から 商 V / W への標準 全射 とすると、転置 P′ は ( V / W )′から V′ への 等長同型であり、範囲は W ⊥ に等しい 。 j が Wから V へ の注入写像を表す場合、転置 j′ の核は W の消滅子である 。
ker
(
j
′
)
=
W
⊥
{\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}
そしてハーン・バナッハの定理 から、 j′は 等長同型
V′ / W ⊥ → W′ を誘導することがわかる 。
その他の特性 ノルム空間V の双対が 分離 可能であれば 、空間 V 自体も分離可能です。逆は真ではありません。たとえば、空間 ℓ 1 は分離可能ですが、その双対 ℓ ∞ は分離可能ではありません。
ダブルデュアル これはベクトル空間からその二重双対へのベクトル加算の 自然な変換 です。 ⟨ x 1 , x 2 ⟩ は2つのベクトルの 順序付きペア を表し ます。 加算 + は x 1 と x 2 を x 1 + x 2 に変換します。 変換によって誘導される加算 +′ は、 双対空間内の 任意のものに対して と定義できます。
[
Ψ
(
x
1
)
+
′
Ψ
(
x
2
)
]
(
φ
)
=
φ
(
x
1
+
x
2
)
=
φ
(
x
)
{\displaystyle [\Psi (x_{1})+'\Psi (x_{2})](\varphi )=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}
φ
{\displaystyle \varphi }
代数的二重双対の場合と同様に、 ノルム空間 V からその連続二重双対 V′′ への自然に定義された連続線型作用素Ψ : V → V′′ が常に存在し、これは次のように定義される。
Ψ
(
x
)
(
φ
)
=
φ
(
x
)
,
x
∈
V
,
φ
∈
V
′
.
{\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}
ハーン・バナッハの定理 の結果として 、この写像は実際には 等長写像 であり、すべての x ∈ V に対して ‖ Ψ( x ) ‖ = ‖ x ‖を意味します。写像 Ψ が全 単射と なるノルム空間は 反射的 と呼ばれます 。
V が 位相ベクトル空間 のとき 、 Ψ( x ) は、すべての x ∈ V に対して同じ式で定義できます が、いくつかの困難が生じます。まず、 Vが 局所凸 でない場合 、連続双対は {0} に等しくなり、写像 Ψ は自明になる可能性があります。しかし、 V が ハウスドルフ かつ局所凸の場合、写像 Ψ は V から連続双対の代数双対 V′ ∗ に単射であり、これもハーン-バナッハの定理の結果として得られます。 [nb 5]
第二に、局所凸設定であっても、連続双対 V′ 上にはいくつかの自然なベクトル空間位相が定義できるため、連続二重双対 V′ は 集合として一意に定義されない。 Ψ が Vから V′ に写像される 、つまり、任意の x ∈ V に対してΨ( x ) が V′上で連続であるということは、 V′ の位相に関する合理的な最小要件であり 、評価写像が
φ
∈
V
′
↦
φ
(
x
)
,
x
∈
V
,
{\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}
V′ 上の選択された位相に対して連続である。さらに、 V′′ 上の位相の選択がまだ存在し 、 Ψ の連続性はこの選択に依存します。結果として、このフレームワークで 反射性を 定義することは、ノルムの場合よりも複雑になります。
参照
注記
^ を このように使用する方法 については、 『多様体入門』 （Tu 2011、p. 19）を参照してください。この表記法は、 が 他の意味のために予約されているときに使用されることがあります。たとえば、上記のテキストでは、 は の共微分を表すために頻繁に使用される ため、 は 形式 の引き戻しを表します 。Halmos (1974、p. 20) は の代数的双対を表すために を使用しています 。ただし、他の著者は を連続双対に使用し、 を 代数的双対に 予約しています（Trèves 2006、p. 35）。
V
∨
{\displaystyle V^{\lor }}
(
⋅
)
∗
{\displaystyle (\cdot )^{*}}
F
∗
{\displaystyle F^{*}}
F
{\displaystyle F}
F
∗
ω
{\displaystyle F^{*}\omega }
ω
{\displaystyle \omega }
V
′
{\displaystyle V'}
V
{\displaystyle V}
V
′
{\displaystyle V'}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
^ 量子力学 などの多くの分野では 、 ⟨·,·⟩ は V × V 上で定義される セスクイリニア形式 として予約されています 。 ^ abcd この記事のいくつかの主張は、 その正当性を証明するために 選択公理 を必要とします。選択公理は、任意のベクトル空間が基底を持つことを示すために必要です。特に、が基底を持つことを示すために必要です。また、無限次元ベクトル空間の双対がゼロでないこと、したがって からその二重双対への自然写像が単射であること を示すためにも必要です 。
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
^正確には、連続フーリエ解析は、ベクトル空間を定義域とする 関数 の空間 と、双対ベクトル空間上の関数の空間を研究します。 ^ V が局所凸だがハウスドルフでない 場合、Ψ の 核 は {0} を含む最小の閉部分空間です。
参考文献
^ カッツネルソン＆カッツネルソン (2008) p. 37、§2.1.3 ^ ab Tu (2011) p. 19、§3.1 ^ アクラー（2015）p.101、§3.94 ^ ハルモス（1974）p.20、§13 ^ ハルモス（1974）p.21、§14 ^ ミスナー、ソーン＆ウィーラー 1973 ^ ミスナー、ソーン、ウィーラー 1973、§2.5 ^ ニコラ・ブルバキ (1974)。ヘルマン (編)。 数学の要素: 代数 I、第 1 - 3 章 。p. 400。ISBN 0201006391 。 ^ マックレーン＆バーコフ 1999、§VI.4 ^ ハルモス（1974）25、28頁 ^ ハルモス（1974）§44 ^ Tao, Terence (2012-12-29). 「次元解析の数学的形式化」。 同様に、 双対空間を ...として定義することができます。
V
T
−
1
{\displaystyle V^{T^{-1}}}
V
T
{\displaystyle V^{T}}
^ ロバートソン＆ロバートソン 1964、II.2より ^ シェーファー 1966, II.4より ^ ルディン 1973, 3.1 ^ ブルバキ 2003, II.42 ^ シェーファー 1966、IV.5.5 ^ シェーファー 1966, IV.1 ^ シェーファー 1966, IV.1.2 ^ ルディン 1991、第4章
文献
外部リンク
![{\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4c668a765d49412b7be6ce68583ea390df2494)
![{\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eb036c129e9e730b69d3801225afbd9a1257bfb)
![{\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e43915b4be6c886bce68a7ca9c9b253b3b38473)
![{\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f7e65aa80831f2103766c54ee6500fdc69cada)
![{\displaystyle \langle v,w\rangle _{\ファイ }=(\ファイ (v))(w)=[\ファイ (v),w].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f781bcee4a5f3ff513ef4f3b594e40b3d0f87184)
![{\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc543f6edb35635a9ad838b0832d22b6d411b7f)
![{\displaystyle [f,s]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a86942d85d0e863a884f5938f6b354d31f156a)
=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700cff34675c74be68a626464650afe6fea57541)
