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数学の順序理論において、イデアルとは半順序集合（poset）の特別な部分集合である。この用語は歴史的には抽象代数学の環イデアルの概念から派生したものであるが、その後、異なる概念へと一般化された。イデアルは、順序理論や束理論における多くの構成において非常に重要な役割を果たす。
半順序集合の部分集合I以下の条件が満たされる場合、それは理想である： [ 1 ] [ 2 ]
これは任意の半順序集合のイデアルを定義する最も一般的な方法ですが、元々は束に対してのみ定義されていました。この場合、次の同等の定義を与えることができます。束の部分集合I はは、有限結合（上限）に関して閉じている下位集合である場合に限り、イデアルである。つまり、空集合ではなく、Iのすべてのx、yに対して、要素 がPのもIに含まれている。[ 3 ]
順序イデアルのより弱い概念は、上記の条件1と2を満たす半順序集合Pの部分集合として定義される。言い換えれば、順序イデアルは単に下集合である。同様に、イデアルは「有向下集合」としても定義できる。
理想の双対概念、すなわち、すべての ≤ を反転させ、交換することによって得られる概念とはフィルターです。
フリンクイデアル、擬イデアル、ドイル擬イデアルは、束イデアルの概念の異なる一般化である。
イデアルまたはフィルターは、集合P全体と等しくない場合に適切であると言われる。[ 3 ]
与えられた要素pを含む最小のイデアルは主イデアルであり、pこの状況における理想の主要要素。主要な理想主項pについては、 ↓ p = { x ∈ P | x ≤ p }で与えられる。
上記の「イデアル」と「順序イデアル」の定義は標準的なものですが、[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]用語には多少の混乱があります。「イデアル」、「順序イデアル」、「フリンクイデアル」、「部分順序イデアル」などの単語や定義が互いに意味をなす場合もあります。[ 6 ] [ 7 ]
イデアルの重要な特殊ケースは、集合論的補集合がフィルターであるイデアル、すなわち逆順序のイデアルによって構成される。このようなイデアルは、素イデアル。また、イデアルとフィルターは空でないことを要求しているため、すべての素イデアルは必然的にプロパーであることに注意してください。束の場合、素イデアルは次のように特徴付けられます。
格子のサブセットI素イデアルであるのは、
これは確かに次のことと同等であることが簡単に確認できます。これはフィルターである（そして、双対的な意味で素数でもある）。
完全な格子の場合、完全素イデアルは意味のある概念です。これは、任意の集合Aの交わり (最小値) がIに含まれるAの何らかの要素IIとして定義されます。つまり、これは上記の条件を無限の交わりに拡張した、特定の素イデアルです。
素イデアルの存在は一般に自明ではなく、多くの場合、ZF（選択公理を含まないツェルメロ・フレンケル集合論）内では十分な数の素イデアルを導出することができません。この問題は、素イデアルを必要とする多くの応用において不可欠な、様々な素イデアル定理で議論されています。
理想的な私とは真イデアルであり、かつ真イデアルIの厳密な上位集合となる真イデアル J が存在しない場合、そのイデアルは極大イデアルである。同様に、真イデアルであり、かつ真イデアル I の厳密な上位集合となる真イデアル F が存在しない場合、そのF
半順序集合が分配束である場合、極大イデアルとフィルターは必然的に素数となるが、この命題の逆は一般には偽である。
最大フィルタはウルトラフィルタと呼ばれることもありますが、この用語はブール代数に限定して使われることが多く、最大フィルタ（イデアル）とは、ブール代数の各要素aに対して、要素 { a , ¬ a } のうちちょうど 1 つだけを含むフィルタ（イデアル）のことです。ブール代数では、素イデアルと最大イデアルという用語は一致し、素フィルタと最大フィルタという用語も同様です。
イデアルの極大性に関するもう一つの興味深い概念があります。イデアルIとフィルターFを考えます。ただし、IはFと互いに素であるとします。ここで、 I を含み、かつFと互いに素なすべてのイデアルの中で最大のイデアルMに関心があります。分配束の場合、このようなMは常に素イデアルになります。この主張の証明を以下に示します。
イデアルMがフィルタFとの非交差性に関して極大であると仮定します。矛盾を導くために、M が素数でない、つまり、a ∧ bがMに含まれるが、aもbもMに含まれないような要素のペアaとbが存在すると仮定します。Mのすべてのmに対して、m ∨ aがFに含まれない場合を考えます。この形式のすべての二項結合の集合の下方閉包を取ることによって、イデアルNを構成できます。つまり、 N = { x | x ≤ m ∨ aが、あるm ∈ Mに対して}です。Nが、 Mより厳密に大きいFと非交差するイデアルであることは容易に確認できます。しかし、これはMの極大性と矛盾し、したがってM が素数でないという仮定と矛盾します。
もう一方のケースとして、 Mの要素mが存在し、m ∨ aがFに含まれると仮定します。ここで、 Mの要素nがn ∨ bがFに含まれるような場合、 ( m ∨ n ) ∨ bと( m ∨ n ) ∨ aは両方ともFに含まれることがわかります。しかし、それらの交わりはFに含まれ、分配法則により、( m ∨ n ) ∨ ( a ∧ b )もFに含まれます。一方、Mの要素のこの有限結合は明らかにMに含まれるため、 nの存在を仮定すると、2 つの集合の非交差性に矛盾します。したがって、Mのすべての要素nは、 Fに含まれないbとの結合を持ちます。したがって、上記の構成をaの代わりにbを用いて適用することで、 Fと非交差でありながらMより厳密に大きいイデアルを得ることができます。これで証明は完了です。
しかし一般に、この意味で極大なイデアルMが存在するかどうかは明らかではありません。しかし、集合論において選択公理を仮定すれば、互いに素なフィルタ・イデアルのペアごとにMの存在が示されます。考察対象の順序がブール代数である特殊な場合、この定理はブール素イデアル定理と呼ばれます。これは選択公理よりも厳密に弱い定理であり、イデアルの多くの順序論的応用にはこれ以上何も必要ないことがわかっています。
イデアルとフィルターの構成は、順序理論の多くの応用において重要なツールである。
イデアルは、マーシャル・H・ストーンによって最初にブール代数に導入されました[ 8 ]。この名称は、抽象代数の環イデアルに由来しています。彼は、ブール代数とブール環の圏の同型性を用いることで、この2つの概念が実際に一致するため、この用語を採用しました。
任意の半順序集合への一般化はフリンクによって行われた。[ 9 ]
