デュアルコード

符号理論では、線形符号の双対符号

${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{q}^{n}}$

は次のように定義される線形コードである。

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}\mid \langle x,c\rangle =0\;\forall c\in C\}}$

どこ

${\displaystyle \langle x,c\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}c_{i}}$

はスカラー積です。線形代数では、双対コードは双線型形式に対するCの消滅子です。Cとその双対の次元は常に長さnになります。 ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle \dim C+\dim C^{\perp }=n.}$

デュアル コードの生成行列は、元のコードに対するパリティ チェック行列であり、その逆も同様です。デュアル コードのデュアルは常に元のコードです。

自己双対コードとは、それ自身が双対であるコードである。これは、nが偶数で、次元C = n /2であることを意味する。自己双対コードが、各コードワードの重みが定数の倍数である場合、それは次の4つのタイプのいずれかである：^[1]${\displaystyle c>1}$

• タイプ Iコードは、二重に偶数ではないバイナリ自己デュアル コードです。タイプ I コードは常に偶数です(すべてのコードワードのハミング重みは偶数です)。
• タイプ IIコードは、二重に偶数であるバイナリ自己デュアル コードです。
• タイプ IIIコードは 3 値自己双対コードです。タイプ III コードのすべてのコードワードのハミング重みは 3 で割り切れます。
• タイプ IVコードはF ₄上の自己双対コードです。これらも偶数です。

タイプ I、II、III、または IV のコードは、長さnがそれぞれ 2、8、4、または 2 の倍数である場合にのみ存在します。

自己デュアル コードの生成行列が という形式である場合、デュアル コードの生成行列は となります。ここでは単位行列、です。 ${\displaystyle G=[I_{k}|A]}$${\displaystyle C^{\perp}}$ ${\displaystyle [-{\bar {A}}^{T}|I_{k}]}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle (n/2)\times (n/2)}$${\displaystyle {\bar {a}}=a^{q}\in \mathbb {F} _{q}}$

• MATH32031: 符号理論 - デュアルコード - いくつかの例と説明を含む pdf