順序同型

順序理論の数学分野では、順序同型は、半順序集合（poset）の同型の概念として適切な単調関数の一種です。2 つの poset が順序同型である場合、要素の名前を変更するだけで、一方の順序から他方の順序を得ることができるという意味で、それらは「本質的に同じ」であると考えることができます。順序同型に関連する厳密に弱い概念として、順序埋め込みとガロア接続があります。^{[ 1 ]}

同型性の概念は、有限順序の場合、ハッセ図を用いて理解することができる。2つの有限順序が同型であるのは、単一のハッセ図（要素のラベル付けの変更を除く）が両方を表現する場合、つまり、一方のハッセ図の頂点のラベル付けを変更するだけで他方のハッセ図に変換できる場合である。

形式的には、2 つの半順序集合が与えられた場合${\displaystyle (S,\leq _{S})}$そして${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ からの順序同型${\displaystyle (S,\leq _{S})}$に${\displaystyle (T,\leq _{T})}$全単射関数である${\displaystyle f}$から${\displaystyle S}$に${\displaystyle T}$すべての${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle S}$、${\displaystyle x\leq _{S}y}$かつその場合に限り${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$つまり、それは全単射の順序埋め込みである。^{[ 2 ]}

順序同型を全射順序埋め込みとして定義することも可能だ。${\displaystyle f}$すべての要素を網羅する${\displaystyle T}$そして、それが順序を保持することは、${\displaystyle f}$も1対1です。${\displaystyle f(x)=f(y)}$そして（${\displaystyle f}$順序を維持する）したがって、${\displaystyle x\leq y}$そして${\displaystyle y\leq x}$半順序の定義から、${\displaystyle x=y}$。

順序同型写像のもう一つの特徴は、単調逆写像を持つ単調全単射写像であるということである。^{[ 3 ]}

半順序集合からそれ自身への順序同型写像は、順序自己同型写像​​と呼ばれる。^{[ 4 ]}

半順序集合に追加の代数構造が課せられると${\displaystyle (S,\leq _{S})}$そして${\displaystyle (T,\leq _{T})}$関数${\displaystyle (S,\leq _{S})}$に${\displaystyle (T,\leq _{T})}$同型写像とみなされるためには、追加の特性を満たす必要があります。例えば、2つの半順序群（po群）が与えられた場合、${\displaystyle (G,\leq _{G})}$そして${\displaystyle (H,\leq _{H})}$po群の同型写像${\displaystyle (G,\leq _{G})}$に${\displaystyle (H,\leq _{H})}$は、単に順序埋め込みである全単射ではなく、群同型でもある順序同型である。^{[ 5 ]}

• 任意の半順序集合上の恒等関数は、常に順序自己同型である。
• 否定は順序同型である${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$に${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$（どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$は実数の集合であり、${\displaystyle \leq }$− x ≥ − yはx ≤ yの場合に限る（通常の数値比較を表す）。^{[ 6 ]}
• オープンインターバル${\displaystyle (0,1)}$（再び数値順に並べると）閉区間との間に順序同型写像は存在しない。${\displaystyle [0,1]}$: 閉区間には最小元が存在するが、開区間には存在しない。順序同型写像は最小元の存在を保持しなければならない。^{[ 7 ]}
• カントールの同型定理によれば、すべての非有界可算稠密線形順序は有理数の順序と同型である。^{[ 8 ]}ミンコフスキーの疑問符関数によって、二次代数数、有理数、および二進有理数の間の明示的な順序同型が提供される。^{[ 9 ]}

もし${\displaystyle f}$が順序同型であれば、その逆関数も順序同型である。また、${\displaystyle f}$は順序同型である${\displaystyle (S,\leq _{S})}$に${\displaystyle (T,\leq _{T})}$そして${\displaystyle g}$は順序同型である${\displaystyle (T,\leq _{T})}$に${\displaystyle (U,\leq _{U})}$すると、関数合成は${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$それ自体が順序同型であり、${\displaystyle (S,\leq _{S})}$に${\displaystyle (U,\leq _{U})}$[ ^{10 ]​}

2 つの半順序集合は、一方から他方への順序同型が存在する場合に、順序同型であると言われます。 ^{[ 11 ]}恒等関数、関数の逆関数、および関数の合成は、それぞれ、同値関係の 3 つの定義特性、すなわち反射性、対称性、および推移性に対応します。したがって、順序同型は同値関係です。半順序集合のクラスは、これによって、互いに同型である半順序集合の族である同値類に分割できます。これらの同値類は、順序型と呼ばれます。

• 順列パターンとは、別の順列の部分列と順序的に同型な順列のことである。

• ブロッホ、イーサン D. (2011)、『証明と基礎：抽象数学入門』、学部生向け数学テキスト（第2 版）、シュプリンガー、pp. 276–277、ISBN  9781441971265。
• Ciesielski, Krzysztof (1997), Set Theory for the Working Mathematician , London Mathematical Society Student Texts, vol.  39, Cambridge University Press, pp. 38–39 , ISBN  9780521594653。
• Schröder, Bernd Siegfried Walter (2003), Ordered Sets: An Introduction , Springer, p.  11, ISBN 9780817641283。
• フックス、ラズロ（1963）、『部分順序代数系』、ドーバー出版；再版（2014年3月5日）、2～ 3ページ、ISBN  0486483878{{citation}}: ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)。