デュアルコーンとポーラーコーン

双対錐と極錐は、数学の一分野である凸解析において密接に関連した概念である。

デュアルコーン

ベクトル空間において

実数体上の線形空間X (例えばユークリッド空間R ⁿ⁾における部分集合Cの双対錐C ^*と双対空間X ^*は、集合である。

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

どこ $\langle y,x\rangle$ XとX ^*の間の双対性ペアリング、すなわち $\langle y,x\rangle =y(x)$ 。

セット $C^{*}$ は、たとえ $C$ 凸でも円錐でもない。

位相ベクトル空間において

X が実数または複素数上の位相ベクトル空間である場合、部分集合C ⊆ Xの双対錐は、 X上の次の連続線形汎関数の集合である。

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}

[ ¹^]

これは集合 - Cの極です。^[¹^] Cが何であっても、 $\displaystyle C^{\prime }}$ 凸円錐になります。C ⊆ {0} の場合、 $\displaystyle C^{\prime }=X^{\prime }}$ 。

ヒルベルト空間（内部双対錐）において

あるいは、多くの著者は、実ヒルベルト空間（ユークリッド内積を備えたR ⁿなど）の文脈で双対錐を、内部双対錐と呼ばれることもあるものとして定義しています。

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

物件

C ^*のこの定義を用いると、 Cが円錐である場合、次の性質が成り立つことがわかります。 ^{[ 2 ]}

非ゼロベクトルyがC ^*に属するのは、以下の両方の条件が満たされる場合に限る。

yはCをサポートする超平面の原点における法線です。
yとCは、その支持超平面の同じ側に位置する。

C ^*は閉じた凸関数である。
$C_{1}\subseteq C_{2}$ 暗示する $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ 。
C の内部が空でない場合、 C ^*はポイント付きである、つまりC*は全体として線分を含まない。
Cが円錐であり、Cの閉包が尖っている場合、C ^*は空でない内部を持つ。
C ^**は、 Cを含む最小の凸錐の閉包である（超平面分離定理の結果）。

自己双対円錐

ベクトル空間X内の円錐C は、 Xに内積⟨⋅,⋅⟩を装備でき、この内積に関する内部双対円錐がCと等しくなる場合、自己双対であると言われる。^[³^] 実ヒルベルト空間で双対円錐を内部双対円錐として定義する著者は、円錐が内部双対と等しい場合に自己双対であると述べるのが一般的である。これは、内積の変更を許容する上記の定義とは少し異なる。例えば、上記の定義では、内積を変更して底を球状にすることができるため、 R ⁿ内の楕円体底の円錐は自己双対となり、R ⁿ内の球面底の円錐は内部双対と等しくなる。

R ⁿの非負象限とすべての正定値半正定値行列の空間は自己双対であり、楕円体底面を持つ円錐（しばしば「球面円錐」、「ローレンツ円錐」、または「アイスクリームコーン」と呼ばれる）も同様である。同様に、R ³において、底面が奇数個の頂点を持つ正多角形の凸包であるすべての円錐も自己双対である。あまり規則的でない例としては、底面が「家」であるR ³の円錐がある。これは、正方形の凸包と、正方形の外側にある点が正方形の辺の 1 つと正三角形（適切な高さ）を形成する点である。

極円錐

X内の集合Cに対して、Cの極錐は集合^[⁴^{]である。}

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

極円錐は双対円錐の負の値に等しいことがわかります。つまり、C ^o = − C ^*です。

X内の閉じた凸錐Cの場合、極錐はCの極集合と等価である。^[⁵^]

参考文献

1 2 Schaefer & Wolff 1999、pp. 215–222。
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↑ Iochum、Bruno、「Cônes autopolaires et algebres de Jordan」、Springer、1984 年。
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis . Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122 . ISBN 978-0-691-01586-6。
↑ Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0。

参考文献

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Goh, CJ; Yang, XQ (2002).最適化と変分不等式における双対性. ロンドン; ニューヨーク: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6。
ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。
Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (編).作用素論とその応用. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1990-9。
シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] 1 2 Schaefer & Wolff 1999、pp. 215–222。

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf) . Cambridge University Press. pp. 51–53 . ISBN 978-0-521-83378-32011年10月15日に取得。

[3] Iochum、Bruno、「Cônes autopolaires et algebres de Jordan」、Springer、1984 年。

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis . Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121–122 . ISBN 978-0-691-01586-6。

[5] Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi : 10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0。

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デュアルコーンとポーラーコーン