商モジュール

代数学では、加群と部分加群が与えられたとき、それらの商加群を構成することができる。^{[ 1 ] [ 2 ]} 以下に説明するこの構成は、商ベクトル空間の構成と非常によく似ている。^{[ 3 ]}環や群の類似の商構成と異なる点は、後者の場合、商を定義するために使用される部分空間が周囲の空間と同じ性質ではないことである（つまり、商環は環を部分環ではなくイデアルで割った商であり、商群は群を一般部分群ではなく正規部分群で割った商である）。

環R上の加群Aと、Aの部分加群Bが与えられたとき、商空間A / Bは同値関係によって定義される。

${\displaystyle a\sim b}$かつその場合に限り${\displaystyle ba\in B,}$

Aの任意のa, bに対して。^{[ 4 ]} A / Bの要素は同値類である。${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$機能​${\displaystyle \pi :A\to A/B}$Aのaをその同値類a + Bに写像することを商写像または射影写像と呼び、これは加群準同型写像です。

A / Bの加算演算は、2 つの同値類に対して、これらの同値類からの2 つの代表値の和の同値類として定義されます。また、 A / Bの要素とRの要素とのスカラー乗算も同様に定義されます。これらの演算がwell-definedであることを示す必要があることに注意してください。すると、A / Bは商加群と呼ばれるR加群になります。記号で表すと、すべてのa、b ∈ Aおよびr ∈ Rに対して次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

多項式環を考える。${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$実数係数、そして​${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$モジュール​${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$サブモジュールを検討してください。

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

Aの、つまりX ² + 1で割り切れるすべての多項式のサブモジュール。このモジュールによって決定される同値関係は次のようになります。

P ( X ) ~ Q ( X )は、 P ( X )とQ ( X )をX ² + 1で割ったときの余りが同じである場合に限り。

したがって、商モジュールA / Bでは、X ² + 1は 0 と同じです。したがって、A / Bは から得られると 考えることができます。${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$X ² + 1 = 0と設定することで、この商加群は複素数と同型であり、実数上の加群として見なすことができる。${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

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