派生カテゴリ

数学において、アーベル圏Aの導来圏 D ( A ) は、 A上で定義される導来関手の理論を洗練し、ある意味では単純化するために導入されたホモロジー代数の構成である。この構成は、 D ( A )の対象がAの鎖複体でなければならないという前提で進められ、そのような 2 つの鎖複体は、鎖複体のホモロジーのレベルで同型を誘導する鎖写像がある場合に同型であると見なされる。次に、鎖複体に対して導来関手を定義して、ハイパーコホモロジーの概念を洗練させることができる。この定義により、複雑なスペクトル列によって (完全に忠実ではないが) 記述される式が大幅に単純化される。

1960 年直後にアレクサンダー・グロタンディークと彼の学生ジャン＝ルイ・ヴェルディエによって開発された導来カテゴリーは、ホモロジー代数が 1950 年代に爆発的に発展した際の 1 つの終着点として現在では考えられている。この 10 年間でホモロジー代数は目覚ましい進歩を遂げた。ヴェルディエの基本理論は博士論文にまとめられ、最終的には 1996 年に Astérisque 誌に発表された (概要はそれ以前にSGA 4½ 誌に掲載されていた)。公理には三角カテゴリーの概念という革新が必要であり、その構築はカテゴリーの局所化、つまり環の局所化の一般化に基づいている。「導来」形式論を開発する最初のきっかけは、グロタンディークの首尾一貫した双対性理論の適切な定式化を求める必要性から生まれた。導来カテゴリーはそれ以来、代数幾何学以外でも、たとえばD 加群の理論や微小局所解析の定式化で欠かせないものとなっている。最近導出されたカテゴリーは、D ブレーンやミラー対称性など、物理学に近い分野でも重要になってきています。

非有界導来圏は 1988 年に Spaltenstein によって導入されました。

コヒーレント層理論では、非特異スキームを仮定せずにセール双対性で実行できることの限界まで押し進めると、単一の双対層の代わりに層の複合体全体を取る必要があることが明らかになりました。実際、非特異性の弱化であるコーエン-マコーレー環条件は、単一の双対層の存在に対応しており、これは一般的なケースからはほど遠いものです。グロタンディークが常に前提としていたトップダウンの知的立場からすると、これは再定式化の必要性を意味していました。それに伴い、「実際の」テンソル積とHom関数は導出レベルに存在するものであるという考えが生まれました。それらに関しては、TorとExt は計算デバイスのようなものになります。

抽象度の高さにもかかわらず、導来カテゴリーはその後数十年にわたって、特に層コホモロジーのための便利な設定として受け入れられるようになった。おそらく最大の進歩は、1980年頃に、1より大きい次元でのリーマン-ヒルベルト対応を導来項で定式化したことである。佐藤学派は導来カテゴリーの言語を採用し、その後のD-加群の歴史は、それらの用語で表現された理論の歴史であった。

並行して発展したのがホモトピー理論におけるスペクトルのカテゴリーである。スペクトルのホモトピーカテゴリーと環の導来カテゴリーは、どちらも三角形のカテゴリーの例である。

をアーベル圏とする。(例としては、環上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏などがある。)導来圏は、 の項を持つコチェーン複体の圏に関する普遍的性質によって定義される。 のオブジェクトは次の形式である。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

ここで、各X ^{i は}の対象であり、各合成数は0 です。複体のi番目のコホモロジー群は です。と がこのカテゴリの 2 つの対象である場合、射はとなる射の族として定義されます。このような射はコホモロジー群 上の射を誘導し、これらの射のそれぞれが における同型である場合、擬同型と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$${\displaystyle f^{\bullet}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

導来カテゴリの普遍的性質は、それが準同型に関する複体のカテゴリの局所化であるということである。具体的には、導来カテゴリ は、関数 とともに、次の普遍的性質を持つカテゴリである: が別のカテゴリ (必ずしもアーベル的ではない) であり、がの準同型であるときはいつでも、その像が の同型であるような関数であるとすると、 はを介し​​て因数分解される。この普遍的性質を持つ任意の 2 つのカテゴリは同値である。 ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f^{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle F(f^{\bullet })}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Q}$

と が の2 つの射である場合、連鎖ホモトピーまたは単にホモトピーは、任意のiに対してとなる射のコレクションです。2 つのホモトピック射がコホモロジー群上に同一の射を誘導することは簡単に示せます。 と がそれぞれおよび上の恒等射に連鎖ホモトピックとなるようなものが存在する場合、は連鎖ホモトピー同値であるといいます。コ連鎖複体のホモトピー圏は、と同じ対象を持ちながら、その射が連鎖ホモトピーの関係に関して複体の射の同値類となる圏です。対象上の恒等射であり、各射をその連鎖ホモトピー同値類に送る自然な関手があります。すべての連鎖ホモトピー同値は準同型なので、はこの関手を介して因数分解されます。したがって、 はホモトピー圏の局所化と見なすこともできます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle h\colon f\to g}$${\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}$${\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}$${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

モデルカテゴリの観点から見ると、導来カテゴリD ( A )は複体のカテゴリの真の「ホモトピーカテゴリ」であり、K ( A )は「素朴なホモトピーカテゴリ」と呼ばれることもあります。

導来カテゴリの構成にはいくつかの方法がある。 が小さいカテゴリである場合、準同型の逆を形式的に付加することで導来カテゴリを直接構成することができる。これは、生成元と関係によるカテゴリの一般的な構成の一例である。^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

が大きなカテゴリである場合、この構成は集合論的な理由により機能しません。この構成は、パスの同値類として射を構築します。 に適切なオブジェクトのクラスがあり、そのすべてが同型である場合、これらのオブジェクトの任意の 2 つの間には適切なパスのクラスが存在します。したがって、ジェネレータと関係の構成は、2 つのオブジェクト間の射が適切なクラスを形成することを保証するだけです。ただし、カテゴリ内の 2 つのオブジェクト間の射は通常、集合である必要があるため、この構成では実際のカテゴリを生成できません。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

しかし、が小さい場合でも、生成子と関係による構成は一般に構造が不透明なカテゴリになり、射は謎の同値関係に従う任意の長さのパスになります。このため、集合論が問題にならない場合でも、導出カテゴリをより具体的に構築するのが慣例です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

これらの他の構成は、ホモトピーカテゴリを経由します。 における準同型のコレクションは、乗法システム を形成します。これは、複雑なパスをより単純なものに書き換えることを可能にする条件のコレクションです。ガブリエル-ジスマン定理は、乗法システムでの局所化が屋根に関して簡単に記述できることを意味しています。^[2]における 射は、ペア として記述できます。ここで、何らかの複素数 に対して、は準同型であり、 は射の連鎖ホモトピー同値類です。概念的には、これは を表します。2 つの屋根は、共通のオーバールーフがある場合に同値です。 ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle (s,f)}$${\displaystyle Z^{\bullet }}$${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}$${\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$${\displaystyle f\circ s^{-1}}$

射の連鎖を屋根に置き換えることで、大きなカテゴリの導来カテゴリに含まれる集合論的問題の解決も可能になる。複体を固定し、オブジェクトが の準同型で、その射が可換図式であるカテゴリを考える。これは、構造写像が準同型であるオブジェクトのカテゴリである。すると、乗法システム条件は、からへの射が ${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle Y^{\bullet }}$

${\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}$

この余極限が実際には集合であると仮定します。 は潜在的に大きなカテゴリですが、場合によっては小さなカテゴリによって制御されます。 これは、たとえば、 がグロタンディークのアーベルカテゴリ（つまり、AB5を満たし、生成子の集合を持つ）である場合に当てはまりますが、重要な点は、有界濃度の対象のみが関連しているということです。^[3] このような場合、極限は小さなサブカテゴリに対して計算され、結果が集合になることが保証されます。 は、これらの集合をその集合として持つように定義できます。 ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

導来範疇の射をホモトピー範疇の射に置き換えることに基づく別のアプローチがある。共域が入射オブジェクトの下側で有界な複体である導来範疇の射は、この複体へのホモトピー範疇の射と同じである。これは項ごとの入射性から導かれる。項ごとの入射性をより強い条件に置き換えることで、有界でない複体にも当てはまる同様の特性が得られる。複体が K 入射的であるとは、すべての非巡回複体 に対して が成り立つ場合である。このことの直接的な帰結は、すべての複体 に対して、内の射は内のそのような射と同じである、ということである。グロタンディークとスパルテンシュタインの研究を一般化したセルペの定理は、グロタンディークのアーベル範疇ではすべての複体が入射項を持つ K 入射複体と準同型であり、さらにこれは関数的であることを主張している。^[4] 特に、K-単射的解決に進み、ホモトピー圏の射を計算することで、導出圏の射を定義できます。セルペの構成の関数性により、射の合成が明確に定義されます。屋根を使用した構成と同様に、この構成でも、導出圏の適切な集合論的性質が保証されます。今回は、これらの性質がホモトピー圏によってすでに満たされているためです。 ${\displaystyle I^{\bullet }}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$${\displaystyle X^{\bullet }}$${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

前述のように、導来カテゴリでは、hom集合は屋根または谷で表現されます。ここで、は準同型です。要素がどのように見えるかをよりよく理解するには、正確なシーケンスを考えてみましょう。 ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$${\displaystyle Y\to Y'}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

これを使って、上の複体を切り捨て、シフトし、上の明らかな射を使って射を構築することができます。特に、次の図が得られます。 ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

ここで、下の複体は次数 に集中しており、唯一の非自明な上向き矢印は等式射であり、唯一の非自明な下向き矢印は である。この複体の図は射を定義する。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

導出カテゴリにおいて、この観察の応用例の一つはアティヤ級の構築である。^[5]

特定の目的（下記参照）では、非有界複体の代わりに、有界下複体（の場合）、有界上複体（の場合）、または有界複体（の場合）を使用します。対応する導来カテゴリは通常、それぞれD ⁺ (A)、D ⁻ (A) 、およびD ^b (A)と表記されます。 ${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle n\ll 0}$${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle n\gg 0}$${\displaystyle X^{n}=0}$${\displaystyle |n|\gg 0}$

カテゴリに対する古典的な観点、つまり、あるオブジェクトから別のオブジェクト（クラスだけではない）への射の集合が存在するという観点を採用する場合、これを証明するために追加の議論を行う必要があります。たとえば、アーベルカテゴリAが小さい場合、つまりオブジェクトの集合のみを持つ場合、この問題は問題になりません。また、A がグロタンディークのアーベルカテゴリである場合、導来カテゴリD ( A ) はホモトピーカテゴリK ( A )の完全なサブカテゴリと同値であり、したがって、あるオブジェクトから別のオブジェクトへの射の集合のみを持ちます。^[6]グロタンディークのアーベルカテゴリには、環上の加群のカテゴリ、位相空間上のアーベル群の層のカテゴリ、およびその他の多くの例が含まれます。

導出カテゴリにおける射、すなわち屋根の合成は、合成する 2 つの屋根の上に 3 番目の屋根を見つけることによって行われます。これが可能であり、明確に定義された結合合成を与えるかどうかを確認できます。

K(A)は三角圏なので、その局所化D(A)も三角圏である。整数nと複素数Xに対して、複素数X [ n ]をXをnだけシフトしたものと 定義する^{[7] 。}

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

差額あり

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

定義により、 D(A)の区別された三角形とは、複素数f : X → Yの写像に対して、D(A)において三角形X → Y →Cone( f )→ X [1]と同型となる三角形である。ここでCone( f )はfの写像円錐を表す。特に、短い完全列に対して

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

Aでは三角形X → Y → Z → X [1] がD(A)で区別される。ヴェルディエは、シフトX [1]の定義は、 X [1] が射X → 0の円錐であることを要求することによって強制されると説明した。 ^[8]

Aのオブジェクトを0 次に集中した複体として見ると、導来カテゴリD(A)はA を完全なサブカテゴリとして含みます。導来カテゴリの射には、すべての Ext グループに関する情報が含まれます。Aの任意のオブジェクトXとYおよび任意の整数jについて、

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

ホモトピー同値は準同型であることは簡単に示せるので、上記の構成の2番目のステップは省略できる。定義は通常このように与えられるが、これは標準関数の存在を明らかにするためである。

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

具体的な状況では、導出カテゴリ内の射を直接扱うのは非常に困難または不可能です。したがって、導出カテゴリと同等の、より扱いやすいカテゴリを探します。古典的には、これには 2 つの (二重の) アプローチがあります。射影的解決と単射的解決です。どちらの場合も、上記の標準関数を適切なサブカテゴリに制限すると、カテゴリの同値になります。

以下では、導来カテゴリのコンテキストにおける入射的解析の役割について説明します。これは、右導来関手を定義するための基礎であり、位相空間上の層のコホモロジーや、エタールコホモロジーや群コホモロジーのようなより高度なコホモロジー理論に重要な応用があります。

この手法を適用するには、問題のアーベル圏に十分な数の単射があると仮定する必要がある。つまり、圏のすべてのオブジェクトX は、単射オブジェクトI への単射を許容する。（写像も単射オブジェクトも一意に指定される必要はない。）たとえば、すべてのグロタンディークのアーベル圏には十分な数の単射がある。Xを何らかの単射オブジェクトI ⁰に埋め込み、この写像の余核を何らかの単射I ¹に埋め込むなどして、 Xの単射解析、つまり正確な（一般には無限の）シーケンス を構築する。

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

ここで、I * は単射オブジェクトです。この考え方は一般化して、下有界複体Xの分解、つまり十分に小さいnに対してX ⁿ = 0 を与えます。上で述べたように、単射分解は一意に定義されませんが、任意の 2 つの分解が互いにホモトピー同値であること、つまりホモトピー カテゴリで同型であることは事実です。さらに、複体の射は、与えられた 2 つの単射分解の射に一意に拡張されます。

ここでホモトピー圏が再び登場する。AのオブジェクトXをAの（任意の）単射解析I *に写像すると、関数

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

下有界導来カテゴリから、項がAの入射オブジェクトである複体の下有界ホモトピーカテゴリへ。

この関手が、冒頭で述べた正準局所化関手の制限の逆であることは容易に分かる。言い換えれば、導来カテゴリの射 Hom( X , Y ) は、 XとYの両方を解決し、ホモトピーカテゴリの射を計算することで計算でき、これは少なくとも理論的にはより容易である。実際、 Y を解決すれば十分である。任意の複素数Xと任意の有界な下向き複素数Yに対して、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

双対的に、Aに十分な数の射影が存在する、つまりすべてのオブジェクトXに対して射影オブジェクトPからXへのエピモーフィズムが存在すると仮定すると、単射解決の代わりに射影解決を使用できます。

1988 年に Spaltenstein は、特異空間の研究にすぐに役立つことが証明された非有界導来カテゴリ (Spaltenstein (1988)) を定義しました。たとえば、非有界導来カテゴリのさまざまな応用に関する Kashiwara と Schapira の著書 (Categories and Sheaves) を参照してください。Spaltenstein は、いわゆるK 単射およびK 射影分解を使用しました。

Keller (1994) と May (2006) は、DG 代数上のモジュールの導来カテゴリについて説明しています。Keller は、Koszul 双対性、リー代数コホモロジー、および Hochschild ホモロジーへの応用も示しています。

より一般的には、定義を注意深く適応させることで、正確なカテゴリの導出カテゴリを定義することが可能です(Keller 1996)。

導来カテゴリは、導来関手を定義および研究するための自然な枠組みです。以下では、F : A → Bをアーベルカテゴリの関手とします。2 つの双対概念があります。

• 右導関数は左完全関数から派生し、単射的解決によって計算される。
• 左導関数は右完全関数から派生し、射影的解決によって計算される。

以下では右導関数について説明します。したがって、F は左正確であると仮定します。典型的な例は、ある固定されたオブジェクトAに対してX ↦ Hom( X , A ) またはX ↦ Hom( A , X ) で与えられるF : A → Ab 、または層上の大域切断関数、または直接像関数です。それらの右導関数は、それぞれExt ⁿ (–, A )、Ext ⁿ ( A ,–)、H ⁿ ( X , F )、またはR ⁿ f _∗ ( F )です。

導来カテゴリにより、すべての導来関手R ⁿ Fを 1 つの関手、つまりいわゆる全導来関手 RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ) にカプセル化できます。これは次の構成です: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B )。ここで、カテゴリの最初の同値は上で説明されています。古典的な導来関手は、R n F ( X ) = H n ( RF ( X ) ) を介して全関手と関連付けられています^{。R n} F^は連鎖複体を忘れて^{コホモロジー}のみを保持しますが、RF は複体を追跡すると 言えます。

導来圏は、ある意味では、これらの関数を研究するのに「適切な」場所である。例えば、2つの関数の合成の グロタンディークスペクトル列

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

F がA の単射な対象をG非巡回に写す（すなわち、すべてのi  > 0 および単射なIに対してR ⁱ G ( F ( I )) = 0となる）は、次の全導来関手の恒等式の表現である。

R ( G ∘ F ) ≅ RG ∘ RFです。

J.-L. Verdier は、アーベル圏Aに関連付けられた導来関手が、適切な導来圏へのAの埋め込みに沿ったKan 拡大としてどのように見えるかを示しました[Mac Lane]。

2つのアーベル圏AとBは同値ではないが、その導来圏D( A )とD( B )は同値であるということが起こり得る。これはAとBの間の興味深い関係であることが多い。このような同値性は三角圏のt構造の理論に関連している。ここにいくつか例を挙げる。^[9]

• を体k上の射影直線上の連接層のアーベル圏とします。K 2 _{-Repを 2 つの頂点を持つ}クロネッカーの矢筒の表現のアーベル圏とします。これらは非常に異なるアーベル圏ですが、それらの (有界な) 導出圏は同等です。${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Q を任意の矢筒とし、P をQからいくつかの矢印を反転して得られる矢筒とします。一般に、QとPの表現のカテゴリは異なりますが、D ^b ( Q -Rep) は常に D ^b ( P -Rep)と同等です。
• X をアーベル多様体、Y をその双対アーベル多様体とします。すると、フーリエ-向変換の理論により、 D ^b (Coh( X )) は D ^b (Coh( Y ))と同値になります。同値の連接層の導来カテゴリを持つ多様体は、フーリエ-向パートナーと呼ばれることがあります。

• 鎖状錯体のホモトピーカテゴリ
• 導出非可換代数幾何学
• 連接層コホモロジー
• 一貫した二重性
• 導出代数幾何学

• ドーン、MGM van (2001) [1994]、「導来カテゴリー」、数学百科事典、EMS プレス
• ケラー、ベルンハルト (1996)、「導来カテゴリーとその用途」、Hazewinkel、M. (編)、代数ハンドブック、アムステルダム: 北ホラント、pp. 671–701、ISBN 0-444-82212-7、MR  1421815
• Keller, Bernhard (1994)、「Deriving DG category」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、Série 4、27 ( 1): 63–102、doi : 10.24033/asens.1689、ISSN  0012-9593、MR  1258406
• May, JP (2006)、位相的観点からの導来カテゴリー(PDF)DG-代数上の加群の導来カテゴリの解釈を与えます。
• Spaltenstein, N. (1988)、「非有界複体の解法」、Compositio Mathematica、65 (2): 121–154、ISSN  0010-437X、MR  0932640
• Verdier, Jean-Louis (1996)、「Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes」、Astérisque (フランス語)、239、パリ: Société Mathématique de France、ISSN  0303-1179、MR  1453167

導出カテゴリーについて解説している教科書は次の 4 冊です。

• ゲルファント、セルゲイ I. Manin、Yuri Ivanovich (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-43583-9、MR  1950475
• 柏原 正樹;シャピラ、ピエール (2006)、カテゴリーと層、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-27949-5、MR  2182076
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• Yekutieli, Amnon (2019).派生カテゴリー. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第183巻. Cambridge University Press. ISBN 978-1108419338。