線形代数の概念
線型代数 では 、 インデックス セット によってインデックス付けされた ベクトル の 基底 を持つ ベクトル空間 が与えられた場合(の 濃度 は の 次元 です )、 の 双対集合 は、同じインデックス セットを持つ 双対空間 内のベクトルの 集合で 、 と が 双直交系 を 形成するものです 。 双対集合は常に 線形独立ですが、 を張る 必要はありません 。 を張る場合 、 は 基底 の 双対基底 または 逆基底 と呼ばれます 。
五
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
私
{\displaystyle I}
私
{\displaystyle I}
五
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
B
∗
{\displaystyle B^{*}}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
私
{\displaystyle I}
B
{\displaystyle B}
B
∗
{\displaystyle B^{*}}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
B
∗
{\displaystyle B^{*}}
B
{\displaystyle B}
インデックス付きベクトル セットを および と表記すると 、双直交性は、 から までの要素のペアの内積が、インデックスが等しい場合は 1 に等しく、そうでない場合は 0 に等しいことを意味します 。 記号的に、 の双対ベクトルを 元の空間 のベクトルに対して評価すると、次のようになります 。
B = {
ヴ
私
}
私 ∈ 私
{\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}
B
∗
= {
ヴ
私
}
私 ∈ 私
{\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
五
{\displaystyle V}
ヴ
私
⋅
ヴ
じゅう
=
δ
じゅう
私
=
{
1
もし
私 = じゅう
0
もし
私 ≠ じゅう
、
{\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}
クロネッカーのデルタ 記号はどこに ありますか 。
δ
じゅう
私
{\displaystyle \delta _{j}^{i}}
導入 ベクトルの演算を行うには、その成分を計算する簡単な方法が必要です。直交座標系では、 ベクトルと基本ベクトルの ドット積が演算の必要条件となります。 例えば、
x
=
x
1
私
1
+
x
2
私
2
+
x
3
私
3
{\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _ {3}}
ここで は 直交座標系の基底である。 の成分は 次のように求められる。
{
私
1
、
私
2
、
私
3
}
{\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
け
=
x
⋅
私
け
。
{\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}
しかし、非直交座標系では、すべての に対して が成り立つとは限らない。しかし、 双対空間で となる
ベクトルを見つけることは常に可能である。
e
私
⋅
e
じゅう
= 0
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}
私 ≠ じゅう
{\displaystyle i\neq j}
e
私
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
x
私
=
e
私
（
x
） （ 私 = 1 、 2 、 3 ） 。
{\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}
s が s の双対基底である 場合に等式が成立します 。インデックスの位置の違いに注意してください 。
e
私
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
e
私
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
私
{\displaystyle i}
存在と独自性 双対集合は常に存在し、 Vから V ∗ への入射、つまり v i をv i に 送る写像を与えます 。これは特に、双対空間の次元が V の次元以上であることを意味します。
しかし、無限次元 Vの双対集合は、その双対空間 V ∗ を張らない 。たとえば、 すべての i に対して w ( v i ) = 1 で与えられる、 V ∗ から 基底スカラー F への写像 w を 考えてみよう。この写像は明らかにすべての v i に対してゼロではない。もし w が双対基底ベクトル v i の 有限線形結合 、たとえば I の 有限部分集合 Kに対してであれば、 K に含まれない任意の j に対して となり 、 w の定義と矛盾する 。したがって、この w は 双対集合のスパン内には存在しない。
わ =
∑
私 ∈ け
α
私
ヴ
私
{\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}
わ （
ヴ
じゅう
） =
（
∑
私 ∈ け
α
私
ヴ
私
）
（
ヴ
じゅう
）
= 0
{\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}
無限次元空間の双対は元の空間よりも次元が大きい（つまり、無限基数が大きい）ため、同じインデックス セットを持つ基底を持つことはできません。ただし、ベクトルの双対セットが存在し、元の空間と同型の双対の部分空間を定義します。さらに、 位相ベクトル空間 の場合、 連続双対空間 を定義でき、その場合は双対基底が存在する可能性があります。
有限次元ベクトル空間 有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、一意です。これらの基底は、 およびで表されます 。ベクトル上の共ベクトルの評価をペアリングとして表すと、双直交性条件は次のようになります。
B = {
e
1
、 … 、
e
ん
}
{\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}
B
∗
= {
e
1
、 … 、
e
ん
}
{\displaystyle B^{*}=\{e^{1},\dots ,e^{n}\}}
⟨
e
私
、
e
じゅう
⟩
=
δ
じゅう
私
。
{\displaystyle \left\langle e^{i},e_{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.}
双対基底と基底の関連は、 Vの基底の空間から V ∗ の基底の空間への写像を与え 、これも同型である。 実数などの 位相体の場合、双対空間は 位相空間 であり、これにより これらの空間の基底の
シュティーフェル多様体 間の 同相が得られる。
双対空間のカテゴリカルかつ代数的な構成 ベクトル空間 ( モジュール ) の双対空間を導入する別の方法は、カテゴリの意味で導入することです。これを行うには、 を環上で定義されたモジュール (つまり、 はカテゴリ の対象 ) とします。次に、 の双対空間 を と定義します 。 これは、 から へ のすべての -線型モジュール準同型 によって形成されるモジュールです 。次に、 の双対を の二重双対として定義できることに注目してください。 これは と書かれ 、 と定義されます 。
あ
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
あ
{\displaystyle A}
R
-
ま o d
{\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }
あ
{\displaystyle A}
あ
∗
{\displaystyle A^{\ast}}
ホム
R
（ あ 、 R ）
{\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}
R
{\displaystyle R}
あ
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
あ
{\displaystyle A}
あ
∗ ∗
{\displaystyle A^{\ast \ast}}
ホム
R
（
あ
∗
、 R ）
{\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}
双対空間の基底を正式に構築するために、 が有限次元の自由（左） - 加群であり、 が 単位元を持つ環である場合に視点を限定します。次に、集合 が の 基底であると仮定します。 ここから、 および の 場合に、 基底上のクロネッカーのデルタ関数 を によって定義します 。すると、集合 は 各 に対して線形独立な集合を表します 。 は有限次元なので、基底 は 有限の濃度です。すると、集合 は の基底であり 、 は 自由（右） - 加群です。
ふ
{\displaystyle F}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
バツ
{\displaystyle X}
ふ
{\displaystyle F}
δ
x ええ
{\displaystyle \delta_{xy}}
バツ
{\displaystyle X}
δ
x ええ
= 1
{\displaystyle \delta_{xy}=1}
x = ええ
{\displaystyle x=y}
δ
x ええ
= 0
{\displaystyle \delta_{xy}=0}
x ≠ ええ
{\displaystyle x\neq y}
S = {
ふ
x
: ふ → R
|
ふ
x
（ ええ ） =
δ
x ええ
}
{\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }
ふ
x
∈
ホム
R
（ ふ 、 R ）
{\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}
ふ
{\displaystyle F}
バツ
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
ふ
∗
{\displaystyle F^{\ast}}
ふ
∗
{\displaystyle F^{\ast}}
R
{\displaystyle R}
例 例えば、 （ 直交平面 ）の標準的な基底ベクトルは
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
{
e
1
、
e
2
}
=
{
（
1
0
）
、
（
0
1
）
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
そしてその双対空間の標準基底ベクトル は
（
R
2
）
∗
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}
{
e
1
、
e
2
}
=
{
（
1
0
）
、
（
0
1
）
}
。
{\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}
3次元 ユークリッド空間 では、与えられた基底に対して 、双直交（双対）基底は 以下の式で求められます。
{
e
1
、
e
2
、
e
3
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}
{
e
1
、
e
2
、
e
3
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}
e
1
=
（
e
2
×
e
3
五
）
T
、
e
2
=
（
e
3
×
e
1
五
）
T
、
e
3
=
（
e
1
×
e
2
五
）
T
。
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}
ここで Tは 転置 を表し 、
V
=
(
e
1
;
e
2
;
e
3
)
=
e
1
⋅
(
e
2
×
e
3
)
=
e
2
⋅
(
e
3
×
e
1
)
=
e
3
⋅
(
e
1
×
e
2
)
{\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}
は基底ベクトルによって形成される 平行六面体 の体積であり 、
e
1
,
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}
e
3
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}
一般に、有限次元ベクトル空間の基底の双対基底は次のように簡単に計算できる。基底 と対応する双対基底が与えられれば、 行列を構築できる。
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}
f
1
,
…
,
f
n
{\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}
F
=
[
f
1
⋯
f
n
]
G
=
[
f
1
⋯
f
n
]
{\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
すると、双対基底の定義的性質は、
G
T
F
=
I
{\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}
したがって、双対基底の行列は 次のように計算できる。
G
{\displaystyle G}
G
=
(
F
−
1
)
T
{\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}
参照
注記
参考文献 Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010)。 テンソル解析と力学への応用 。World Scientific。ISBN 978-981431312-4 。 「二重の根拠を見つける」 。Stack Exchange。2012 年 5 月 27 日。 
