ホモロジーミラー対称性

ホモロジーミラー対称性は、マクシム・コンツェビッチによる数学的 推測である。これは、弦理論を研究する物理学者によって初めて観察されたミラー対称性と呼ばれる現象に対する体系的な数学的説明を求めるものである。

1994年にチューリッヒで開催された国際数学者会議での演説で、コンツェビッチ(1994)は、カラビ・ヤウ多様体XとYのペアのミラー対称性は、Xの代数幾何学から構成される三角形のカテゴリ( X上の連接層の導来カテゴリ)と、 Yのシンプレクティック幾何学から構成される別の三角形のカテゴリ(導来深谷カテゴリ)の同値として説明できると推測した。

エドワード・ウィッテンはもともと、N=(2,2) 超対称場の理論の位相的なねじれを、彼が A モデルおよび B モデルの位相的弦理論と呼ぶものに記述しました^[要出典]。これらのモデルは、リーマン面から固定されたターゲット (通常はカラビ・ヤウ多様体) への写像に関するものです。ミラー対称性の数学的予測のほとんどは、 Y上の A モデルとそのミラーX上の B モデルの物理的な等価性に組み込まれています。リーマン面が空の境界を持つ場合、それらは閉じた弦の世界面を表します。開いた弦の場合をカバーするには、超対称性を保存するための境界条件を導入する必要があります。A モデルでは、これらの境界条件は、何らかの追加構造 (しばしばブレーン構造と呼ばれる) を持つYのラグランジアン部分多様体の形で表されます。B モデルでは、境界条件は、その上に正則 (または代数的) ベクトル束を持つXの正則 (または代数的) 部分多様体の形で表されます。これらは、関連するカテゴリを構築するために使用するオブジェクトです^{[引用が必要]}。これらはそれぞれ A ブレーンと B ブレーンと呼ばれることがよくあります。カテゴリ内のモルフィズムは、2 つのブレーンの間に伸びる開いた弦の質量のないスペクトルによって与えられます^{[引用が必要]}。

閉じた弦の A モデルと B モデルは、いわゆる位相セクター、つまり完全な弦理論の小さな部分のみを捉えています。同様に、これらのモデルのブレーンは、D ブレーンである完全な動的オブジェクトの位相近似にすぎません。それでも、弦理論のこの小さな部分から生じる数学は、奥深くて難しいものでした。

プリンストン高等研究所数学部は、2016-17年度の1年間をホモロジーミラー対称性の研究に費やした。参加者には、MITのポール・ザイデル、IHÉSのマキシム・コンツェビッチ、カリフォルニア大学バークレー校のデニス・オールーなどがいた。^[1]

数学者がこの予想を検証できた例はほんのわずかです。Kontsevichは、その影響力の大きい講演で、楕円曲線の場合、シータ関数を使用して予想を証明できると述べました。このルートをたどって、Alexander PolishchukとEric Zaslowは、楕円曲線に対する予想のバージョンの証明を提供しました。深谷健司は、アーベル多様体に対する予想の要素を確立することができました。後に、KontsevichとYan Soibelmanは、 SYZ予想のアイデアを使用して、アフィン多様体上の非特異トーラスバンドルに対する予想の大部分の証明を提供しました。2003年、Paul Seidelは、 4次曲面の場合に予想を証明しました。2002年、HauselとThaddeus (2002)は、ヒッチンシステムとラングランズ双対性のコンテキストでSYZ予想を説明

調和 ( p , q )-微分形式 (コホモロジー、つまり完全形式を法とする閉じた形式と同義)の空間の次元h ^{p , q}は、慣例的にホッジダイヤモンドと呼ばれるダイヤモンド型に配置されます。これらの (p,q)-ベッティ数は、フリードリヒ・ヒルツェブルッフによって記述された生成関数を使用して、完全な交差に対して計算できます。^{[2] [3] [4]}たとえば、3次元多様体の場合、ホッジダイヤモンドのpとq は0 から 3 の範囲になります。

ミラー対称性は、元の多様体の (p, q) 次微分形式h ^{p , q}の次元数を、対多様体のh ^{n-p , q}に変換します。つまり、任意のカラビ・ヤウ多様体について、ホッジ・ダイヤモンドは π ラジアンの回転では変化せず、ミラー・カラビ・ヤウ多様体のホッジ・ダイヤモンドは π/2 ラジアンの回転によって関連付けられます。

1次元のカラビ・ヤウ多様体として見られる楕円曲線の場合、ホッジダイヤモンドは特に単純で、次の図のようになります。

2次元カラビ・ヤウ多様体として見たK3曲面の場合、ベッティ数は{1, 0, 22, 0, 1}なので、ホッジダイヤモンドは次の図のようになります。

通常カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる 3 次元の場合、非常に興味深いことが起こります。対角線に沿って互いに対して対称なホッジダイヤモンドを持つ ミラーペア、たとえばMとW が存在することがあります。

Mのダイヤモンド：

Wのダイヤモンド：

MとW は弦理論の A モデルと B モデルに対応します。ミラー対称性はホモロジー次元を置き換えるだけでなく、ミラーペア上のシンプレクティック構造と複素構造も置き換えます。これがホモロジーミラー対称性の起源です。

1990年から1991年にかけて、Candelas et al. 1991は、列挙代数幾何学だけでなく数学全体に大きな影響を与え、Kontsevich (1994)の原動力となった。この論文の2つの5次3次元多様体のミラーペアには、次のホッジダイヤモンドがある。

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• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991). 「正確に可解な超共形理論としての一対のカラビ-ヤウ多様体」.核物理学 B. 359 ( 1): 21–74. Bibcode :1991NuPhB.359...21C. doi :10.1016/0550-3213(91)90292-6. MR  1115626.
• Kontsevich, Maxim (1994). 「ミラー対称性のホモロジー代数」. arXiv : alg-geom/9411018 .
• Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000). 「ホモロジーミラー対称性とトーラスファイバレーション」. arXiv : math.SG/0011041 .
• Seidel, Paul (2003). 「4次曲面のホモロジーミラー対称性」. arXiv : math.SG/0310414 .
• Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002). 「ミラー対称性、ラングランズ双対性、およびヒッチンシステム」. Inventiones Mathematicae . 153 (1): 197–229. arXiv : math.DG/0205236 . Bibcode :2003InMat.153..197H. doi :10.1007/s00222-003-0286-7. S2CID  11948225.