ペアリング

数学において、ペアリングとは、 2 つのR加群の直積からのR双線型写像であり、基礎となる環Rは可換である。

R を単位を持つ可換環とし、M、N、LをR加群とする。

ペアリングとは、任意のR双線型写像である。つまり、 ${\displaystyle e:M\times N\to L}$

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$、

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$そして${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

任意のおよび任意のに対して、 となる。同様に、ペアリングはR線型写像 である${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

ここで、 はMとNのテンソル積を表します。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

ペアリングはR線型写像 とみなすこともできます。これは を設定することで最初の定義と一致します 。 ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$

上記の写像がR加群の同型である場合、そのペアリングは完全であると呼ばれます。 ${\displaystyle \Phi}$

上の写像に対して、すべて に対してが成り立つ場合、そのペアリングは右側で非退化であるといいます。同様に、すべて に対してが成り立つ場合、そのペアリングは左側で非退化であるといいます。 ${\displaystyle e(m,n)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e(m,n)=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=0}$

ペアリングは、すべてのmに対して である場合に、交代ペアリングと呼ばれます。特に、これは を意味し、双線型性は を示します。したがって、交代ペアリングの場合、です。 ${\displaystyle N=M}$${\displaystyle e(m,m)=0}$${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e (n,m)}$${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$

実ベクトル空間V上の任意のスカラー積はペアリングです (上記の定義で M = N = V、R = Rと設定します)。

行列式写像（k上の2×2行列）→ kは ペアリングとして見ることができます。 ${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$

ホップマップは ペアリングの一例です。例えば、Hardie et al. ^[1]はポセットモデルを使用してマップの明示的な構築を提示しています。 ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$

暗号学では、次のような専門的な定義がよく使われる: ^[2]

を加法群 、を乗法群とし、これらはすべて素数位数とします。をそれぞれ、およびの生成元とします。 ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$${\displaystyle \textstyle G_{T}}$ ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}}$${\displaystyle \textstyle G_{1}}$${\displaystyle \textstyle G_{2}}$

ペアリングはマップです:${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

以下が当てはまります。

1. 双線形性:${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}$
2. 非退化性:${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. 実用的な目的のためには、効率的な方法で計算可能でなければならない${\displaystyle \textstyle e}$

暗号文献では、すべてのグループが乗法表記で記述されることも一般的であることに注意してください。

の場合、ペアリングは対称的と呼ばれます。は巡回的であるため、マップは可換になります。つまり、任意の に対して、 が成り立ちます。これは、ジェネレータ に対して、およびとなる整数 が存在するためです。したがってです。 ${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$${\displaystyle \textstyle G}$${\displaystyle e}$${\displaystyle P,Q\in G}$${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P=g^{p}}$${\displaystyle Q=g^{q}}$${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$

ワイルペアリングは楕円曲線暗号における重要な概念です。例えば、特定の楕円曲線を攻撃するために使用できます (MOV 攻撃を参照)。ワイルペアリングと他のペアリングは、アイデンティティベースの暗号化方式の開発に使用されています。

複素 ベクトル空間上のスカラー積は双線型ではありませんが、ペアリングと呼ばれることがあります。たとえば、表現論では、有限群の複素表現の指標にスカラー積があり、これは指標ペアリングと呼ばれることがよくあります。

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