落ち着いた空間

数学において、厳密な空間とは、 Xのすべての (空でない)既約閉部分集合がXのちょうど 1 つの点の閉包となるような位相空間 Xのことです。つまり、すべての空でない既約閉部分集合には、一意のジェネリック点があります。

ソバー空間にはさまざまな暗号定義があり、このセクションで説明されています^{[1] [2]}。以下の各ケースで、「一意」を「最大で 1 つ」に置き換えると、T ₀公理の同等の定式化が得られます。これを「少なくとも 1 つ」に置き換えると、空間の T ₀商がソバーであるという特性に相当し、これは文献では「十分な点がある」と呼ばれることもあります。

閉集合は、2 つの適切な閉部分集合の和集合として表すことができない場合は既約です。空でない既約閉部分集合がすべて一意の点の閉包である場合、 空間は非既約です。

位相空間Xが sober であるとは、その半順序付き開集合から へのすべての結合とすべての有限会合を保存するすべての写像が、一点空間からXへの一意の連続関数の逆像である場合をいいます。 ${\displaystyle \{0,1\}}$

これは、局所的な点の概念と位相空間内の点の概念との間の対応として見ることができ、これが定義の動機となります。

開集合のフィルタ F は、となる任意 の開集合族に対して、あるiに対して となるとき、完全に素であるという。空間 X が sober であるとは、各完全に素なフィルタがX 内の一意の点の 近傍フィルタである場合である。${\displaystyle O_{i}}$${\displaystyle \bigcup _{i}O_{i}\in F}$${\displaystyle O_{i}\in F}$

ネットが 自己収束するとは、ネットが内のすべての点に収束すること、またはそれと同等に、ネットの偶発性フィルタが完全に素数になることです。に収束するネットがの閉包内の点にのみ収束する場合、ネットは強収束します。 空間が非収束であるとは、すべての自己収束ネットが唯一の点 に強収束する場合です。^[2]${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$

特に、すべての自己収束ネットが定数である場合、空間は T1 かつ厳密です。

空間Xが sober であるとは、 すべての有限極限とすべての小さな余極限を保存する層のカテゴリSh(X)からSetへのすべての関数が、一意の点xの茎関数でなければならない場合です。

任意のハウスドルフ(T ₂ )空間は厳密であり(唯一の既約部分集合は点である)、すべての厳密な空間はコルモゴロフ(T ₀ )であり、両方の含意は厳密である。^[3]

飲酒はT ₁状態とは比較できません。

• 非合理的なT ₁空間の例としては、コ有限位相を持つ無限集合があり、空間全体はジェネリック点を持たない既約閉部分集合である。
• _{T 1}ではない厳密な空間の例としては、シェルピンスキー空間が挙げられる。

さらに、T _{2 はT 1} かつソバーであるよりも強い、つまり、すべての T ₂空間は同時に T _{1かつソバーであるが、同時に T 1}かつソバーであるが T ₂ではない空間が存在します。このような例の 1 つを以下に示します。X を、新しい点 p が付加された実数集合とします。開集合は、すべての実開集合と、p を含むすべてのコ有限集合です。

Xの厳粛さは、まさにXの開集合の格子が同相写像に至るまでX を決定することを強制する条件であり、これは無意味な位相幾何学に関連します。

冷静さは、特殊化の事前順序を有向完全半順序にします。

スコット位相を備えたすべての連続有向完全ポスセットは、冷静である。

有限T0_空間は非対称である。^[4]

ザリスキ位相を持つ可換環Rの素スペクトルSpec( R ) は、コンパクトなソバー空間である。^[3] 実際、あらゆるスペクトル空間(つまり、コンパクトな開部分集合のコレクションが有限交差で閉じており、位相の基底を形成するコンパクトなソバー空間) は、何らかの可換環Rに対して Spec( R ) と同相である。これはメルビン・ホクスターの定理である。^{[5]より一般的には、あらゆる}スキーム の基礎となる位相空間はソバー空間である。

Spec( R ) の極大イデアルのみからなる部分集合 ( Rは可換環) は一般には非対称である。

• ストーン双対性、つまり、冷静な位相空間と空間的なフレーム (つまり、完全な Heyting 代数)の間の双対性に関するもの。

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。カテゴリカル基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​
• ビッカース、スティーブン(1989)。論理によるトポロジー。ケンブリッジ理論計算機科学論文集。第 5 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。p. 66。ISBN 0-521-36062-5.ZBL0668.54001  。​