グローバル分野

数学において、大域体とは、値を用いて特徴付けられる2種類の体（もう1つは局所体）のうちの1つである。大域体には2種類ある：^[1]

• 代数体：有限拡張${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 大域関数体:有限体上の既約代数曲線の関数体。これは、元を持つ有限体上の 1 変数の有理関数体である の有限拡大と同値です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$${\displaystyle q=p^{n}}$

これらの分野の評価理論による公理的な特徴づけは、1940年代にエミール・アルティンとジョージ・ワプルズによって行われた。 ^{[2] [3]}

グローバル フィールドは次のいずれかです。

代数体

代数体F は、有理数体Q の有限（したがって代数的）体拡大です。したがって、F はQ を含む体であり、Q上のベクトル空間として考えた場合、有限次元を持ちます。

有限体上の既約代数曲線の関数体

代数多様体の関数体とは、その多様体上のすべての有理関数の集合です。有限体上の既約代数曲線 (つまり、1 次元多様体V ) 上では、開いたアフィン部分集合U上の有理関数はUのアフィン座標環の 2 つの多項式の比として定義され、V全体の有理関数は開いたアフィンの交点で一致するローカル データで構成されると言われています。技術的には、このような部分集合はすべて稠密であるため、 V上の有理関数は任意の開いたアフィン部分集合のアフィン座標環の 分数の体であると定義されます。

2 種類の体には形式的な類似点が多数あります。どちらのタイプの体も、その完備化のすべてが局所コンパクト体であるという性質があります (局所体を参照)。どちらのタイプの体も、すべての非ゼロのイデアルが有限の指数を持つデデキント領域の分数の体として実現できます。いずれの場合も、非ゼロの元xの積の公式は次のようになります。

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1,}$

ここで、v はフィールドの すべての値にわたって変化します。

2種類の体の間の類似性は、代数的整数論における強力な原動力となっている。数体とリーマン面の類似性の考え方は、19世紀のリチャード・デデキントとハインリッヒ・M・ウェーバーに遡る。代数曲線としてのリーマン面の側面が有限体上で定義された曲線に写像される「大域体」の考え方によって表現されるより厳密な類似性は、1930年代に構築され、1940年にアンドレ・ヴェイユによって確立された有限体上の曲線に対するリーマン予想で最高潮に達した。この用語は、部分的には平行性を解決するために基礎整数論（1967年）を書いたヴェイユによるものである可能性がある。

通常、関数体の場合で作業してから、数体側で並列技術を開発する方が簡単です。アラケロフ理論の開発と、ゲルト・ファルティングスによるモーデル予想の証明でのその利用は、劇的な例です。この類似性は、岩澤理論と主予想の開発にも影響を与えました。ラングランズ プログラムの基本補題の証明でも、数体の場合を関数体の場合に簡約する技術が使用されました。

ハッセ・ミンコフスキーの定理は、大域体上の2つの二次形式が同値であるためには、それらがすべての場所で局所的に同値であること、つまり体のすべての完備化に対して同値であることが必要であることを述べる数論における基本的な結果です。

アルティンの相互法則は、ハッセの局所-大域原理に基づく大域体Kの絶対ガロア群のアーベル化の記述を意味します。これはコホモロジーの観点から次のように記述できます。

L _v ⁄ K _{v を}ガロア群Gを持つ局所体のガロア拡大とする。局所相互法則は、標準同型性を記述する。

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text {ab}}、}$

局所アルティン記号、局所相互写像、ノルム留数記号と呼ばれる。^{[4] [5]}

L ⁄ K を大域体のガロア拡大とし、C _{L を}L のイデル類群とする。 Kの異なる場所vに対する写像θ _vは、イデル類の局所成分を乗算することで、単一の大域記号写像に組み立てることができる。アルティンの相互法則の記述の1つは、これが標準同型写像をもたらすということである。^{[6] [7]}