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場の理論は、場を研究する数学の分野です。これは、この分野の用語集です。(物理学における無関係な場の理論については、場の理論 (物理学)を参照してください。)
フィールドの定義
体とは、 0 ≠ 1で、すべての非ゼロ要素に逆元が存在する 可換環 ( F、+、*)です。したがって、体では加算、減算、乗算、除算の演算を実行できます。
体Fの非ゼロ元は乗法に関してアーベル群を形成します。この群は通常、F ×と表記されます。
Fに係数を持つ変数xの多項式環はF [ x ]と表されます。
基本的な定義
- 特性
- 体Fの特性は、 n ·1 = 0となる最小の正の整数nです。ここで、n ·1 はn 個の加数1 + 1 + 1 + ... + 1を表します。そのようなn が存在しない場合は、特性が 0 であると言います。すべての非ゼロの特性は素数です。たとえば、有理数、実数、p進数は特性 0 を持ちますが、 pが素数である有限体Z pは特性p を持ちます。
- サブフィールド
- 体Fの部分体とは、 Fの体演算 + および * の下で閉じられ、これらの演算によってそれ自体が体を形成するFの部分集合です。
- 素体
- 体Fの素体とは、 Fの唯一の最小の部分体です。
- 拡張フィールド
- F がEのサブフィールドである場合、EはFの拡大フィールドです。このとき、 E / F はフィールド拡大であるとも言えます。
- 拡張の程度
- 拡大E / Fが与えられると、体E は体F上のベクトル空間とみなすことができ、このベクトル空間の次元は拡大の次数であり、[ E : F ] と表されます。
- 有限拡張
- 有限拡大は、次数が有限である体の拡大です。
- 代数拡張
- F上の拡大体Eの元αがF [ x ]の非ゼロ多項式の根である場合、α はF上の代数的である。Eのすべての元がF上の代数的である場合、E / F は代数的拡大である。
- 発電セット
- 体の拡大E / FとEの部分集合Sが与えられたとき、 FとS の両方を含むEの最小の部分体をF ( S ) と書きます。これは、 FとSの元に対して演算 +、-、*、/ を繰り返し使用して得られるEのすべての元で構成されます。E = F ( S )の場合、 EはF上のSによって生成されるといいます。
- プリミティブ要素
- 体F上の拡大体 E の元αは、 E = F ( α ) （ αを含む最小の拡大体）のとき、原始元と呼ばれます。このような拡大は単純拡大と呼ばれます。
- 分割フィールド
- 多項式の完全な因数分解によって生成される体の拡張。
- 通常の拡張
- 多項式の集合を完全に因数分解することによって生成される体拡張。
- 分離可能な拡張機能
- 分離可能な多項式の根によって生成される拡張。
- 完璧なフィールド
- すべての有限拡張が分離可能な体。特性が 0 であるすべての体とすべての有限体は完全です。
- 不完全な程度
- F を特性p > 0の体とすると、F p は部分体となる。次数[ F : F p ]はFの不完全次数と呼ばれる。体Fが完全であるためには、その不完全次数が1でなければならない。たとえば、F が特性p > 0の有限体上のn変数の関数体である場合、その不完全次数はp nである。[1]
- 代数的に閉じた体
- F [ x ]内のすべての多項式がF内に根を持つ場合、体F は代数的に閉じています。つまり、F [ x ] 内のすべての多項式は線形因子の積です。
- 代数的閉包
- 体Fの代数的閉包は、代数的に閉じているFの代数的拡大です。すべての体には代数的閉包があり、 F を固定する同型を除いて一意です。
- 超越的
- Fの拡大体の元のうち、F上で代数的ではないものは、 F上で超越的である。
- 代数的に独立した要素
- Fの拡大体の元は、F内の係数を持つ非ゼロ多項式方程式を満たさない場合、F上で代数的に独立です。
- 超越度
- 体拡大における代数的に独立した超越元の数。代数多様体の次元を定義するために使用されます。
準同型
- 体準同型
- 2つの体EとFの間の体準同型は環準同型、すなわち関数
- f : E → F
- つまり、E内の任意のx、yに対して、
- 関数f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
- f ( xy ) = f ( x ) f ( y )
- ∂f (1) = 1 です。
- 体EとFについて、これらの性質は、xがE ×にある場合、 f (0) = 0、f ( x −1 ) = f ( x ) −1であり、fが単射であることを意味します。体とこれらの準同型はカテゴリを形成します。2つの体EとF は、全単射準同型が
存在する場合、同型と呼ばれます。
- f : E → F .
- 2 つのフィールドは、実用上は同一ですが、一意に決まるとは限りません。たとえば、複素共役を参照してください。
フィールドの種類
- 有限体
- 有限個の元を持つ体、ガロア体とも呼ばれます。
- 順序付けられたフィールド
- 演算と互換性のある全順序を持つフィールド。
- 有理数
- 実数
- 複素数
- 数値フィールド
- 有理数体の有限拡張。
- 代数的数
- 代数的数体は有理数体の最小の代数的に閉じた拡大である。その詳細な性質は代数的数論で研究される。
- 二次方程式
- 有理数の 2 次拡張。
- 円分体
- 1 の根によって生成される有理数の拡張。
- 完全にリアルなフィールド
- すべての根が実数である多項式の根によって生成される数体。
- 形式的に実数体
- 実閉体
- グローバル分野
- 有限体上の 1 変数の数体または関数体。
- ローカルフィールド
- あるグローバル体の完備化（整数環の素数に関して）。
- フィールドを完了
- 何らかの評価に関して完了したフィールド。
- 擬似代数閉体
- あらゆる多様体が有理点を持つ分野。[2]
- ヘンゼルフィールド
- ある評価に関してヘンゼルの補題を満たす体。完全体の一般化。
- ヒルベルト体
- ヒルベルトの既約定理を満たす体。正式には、射影直線がセールの意味で細くない体。[3] [4]
- クロネッカー体
- 実数体または実数体の虚数二次拡大。[5]
- CMフィールドまたはJフィールド
- 実数体の全虚数二次拡大である代数体。[6]
- リンクされたフィールド
- いかなる双四元数代数も除算代数ではない体。[7]
- フロベニウス体
- 絶対ガロア群が埋め込み特性を持つ擬似代数閉体。 [8]
フィールド拡張
E / F を体の拡大と します。
- 代数拡張
- Eのすべての要素がF上の代数的要素となる拡張。
- シンプルな拡張
- 単一の要素によって生成される拡張は原始要素または生成要素と呼ばれます。[9]原始要素定理は そのような拡張を分類します。[10]
- 通常の拡張
- 多項式の族を分割する拡張: F上のEの元の最小多項式のすべての根はEにもあります。
- 分離可能な拡張機能
- EのF上のすべての元の最小多項式が分離多項式、つまり異なる根を持つ代数拡張。[11]
- ガロア拡大
- 通常の分離可能なフィールド拡張。
- プライマリ拡張機能
- E / F の拡大で、 EにおけるFの代数閉包が F 上で純粋に分離不可能であるもの。つまり、EはFの分離閉包と線型的に素である。[ 12]
- 純粋に超越的な拡張
- E / Fの拡大。EのFに含まれないすべての元がF上で超越的である。[13] [14]
- 定期延長
- EがF上で可分であり、FがEにおいて代数的に閉じているような拡大E / F。 [ 12]
- 単純な根号拡張
- Fの元bに対してα n = b を満たす 単一の元αによって生成される単純拡大 E / F。特性pでは、アルティン・シュライアー多項式の根による拡大も単純根号拡大であるとみなす。[15]
- ラジカル拡張
- 塔F = F 0 < F 1 < ⋅⋅⋅ < F k = Eここで各拡張F i / F i −1は単純な根号拡張である。[15]
- 自己正規拡張
- E / Fの拡大でE ⊗ F Eは整域となる。[16]
- 完全に超越的な拡張
- FがFにおいて代数的に閉じているような拡大E / F。[14]
- 優秀なクラス
- 3つの性質を持つフィールド拡張のクラスC [17]
- E がFの C 拡張であり、F がKの C 拡張である場合、E はKの C 拡張です。
- EとF が共通オーバーフィールドMにおけるKの C 拡大である場合、合成体EF はKの C 拡大です。
- E がFの C 拡張であり、E > K > Fである場合、E はKの C 拡張です。
ガロア理論
- ガロア拡大
- 通常の分離可能なフィールド拡張。
- ガロア群
- ガロア拡大の自己同型群。有限拡大の場合、これは拡大の次数に等しい位数の有限群です。無限拡大のガロア群は、profinite グループです。
- クンマー理論
- 十分な数の 1 の根が与えられた場合にn乗根を求めるガロア理論。これには二次拡大の一般理論が含まれます。
- アルティン・シュライアー理論
- クンマー理論の例外的なケース（特性p ）について説明します。
- 通常基準
- K上のLのベクトル空間の意味で基底であり、その上でK上のLのガロア群が推移的に作用します。
- テンソル積
- 合成演算 (体の結合)を含む、代数の別の基礎部分。
ガロア理論の拡張
- ガロア理論の逆問題
- 群Gが与えられた場合、 Gをガロア群とする有理数体またはその他の体の拡張を見つけます。
- 微分ガロア理論
- ガロア理論の伝統的な流れに沿って微分方程式の対称群を研究する主題。これは実際には古い考えであり、ソフス・リーがリー群の理論を創始した動機の 1 つです。おそらく、決定的な形には達していません。
- グロタンディークのガロア理論
- 代数幾何学からの非常に抽象的なアプローチであり、基本群の類似物を研究するために導入されました。
引用
- ^ フリード＆ジャーデン 2008、45ページ
- ^ フリード＆ジャーデン 2008、214ページ
- ^ セール 1992、19 ページ
- ^ シンツェル 2000、298 ページ
- ^ シンゼル 2000、5 ページ
- ^ ワシントン 1996
- ^ ラム 2005、342 ページ
- ^ フリード＆ジャーデン 2008、564 ページ
- ^ ローマン 2007、46 ページ
- ^ ラング 2002、243 ページ
- ^ フリード＆ジャーデン 2008、28ページ
- ^ ab フリード & ジャーデン 2008、p. 44
- ^ ローマン 2007、102 ページ
- ^ アイザックス 1994、389 ページ
- ^ ローマン 2007、273 ページ
- ^ コーン 2003、427 ページ
- ^ ラング 2002、228 ページ
参考文献
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- コーン、PM (2003)。『基礎代数学。群、環、体』。シュプリンガー出版。ISBN 1-85233-587-4.ZBL1003.00001 .
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- ローマン、スティーブン（2007）。場の理論。数学大学院テキスト。第158巻。シュプリンガー出版。ISBN 978-0-387-27678-6。
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