代数分数

代数学において、代数分数とは、分子と分母が代数式である分数のことです。代数分数の2つの例は次のとおりです。${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$そして${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$代数分数は算術分数と同じ法則に従います。

有理分数とは、分子と分母がともに多項式である代数分数のことである。したがって${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$は有理数ですが、${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$分子に平方根関数が含まれているためです。

代数分数では${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$被除数aを分子、除数bを分母と呼びます。分子と分母は代数分数の項と呼ばれます。

複分数とは、分子または分母、あるいはその両方に分数が含まれる分数のことです。単純分数とは、分子にも分母にも分数を含まない分数のことです。分数が既約分数であるとは、分子と分母に共通する約数が1のみである場合を指します。

分数形式で表されていない式は、積分式です。積分式は、分母に1を付けることで必ず分数形式で表すことができます。混合式は、1つ以上の積分式と1つ以上の分数項の代数和です。

式aとbが多項式である場合、代数分数は有理代数分数^{[ 1 ]}または単に有理分数^{[ 2 ] [ 3 ]}と呼ばれます。有理分数は有理式とも呼ばれます。有理分数${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$適切な場合${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$、それ以外は不適切です。例えば、有理分数$\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$は適切であり、有理分数${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$仮分数は、多項式（定数を含む場合もある）と真分数の和として表すことができます。仮分数の最初の例では、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

ここで、2 番目の項は真有理分数です。2 つの真有理分の和も真有理分数です。真有理分数を 2 つ以上の分数の和として表す逆のプロセスは、それを部分分数に分解すると呼ばれます。たとえば、

$\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

ここで、右側の2つの項は部分分数と呼ばれます。

無理数とは、分数指数の中に変数を含む分数のことです。^{[ 4 ]}無理数の例は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

無理数を有理数に変換する過程は、有理化と呼ばれます。根号が単項式であるすべての無理数は、根号の指数の最小公倍数を見つけ、その最小公倍数を指数とする別の変数に代入することで有理化できます。この例では、最小公倍数は 6 なので、代入することができます。${\displaystyle x=z^{6}}$取得する

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

• 部分分数分解

• ブリンク、レイモンド W. (1951). 「IV. 分数」 .大学代数.