幾何平均の定理

灰色の正方形の面積 = 灰色の長方形の面積: $h 2 = pq ⟺ h = \sqrt pq$

ユークリッド幾何学において、直角三角形の高さの定理、または幾何平均の定理とは、直角三角形の斜辺に引いた高さと、その高さによって斜辺上にできる2つの線分との間の関係を表す定理です。この定理によれば、 2つの線分の幾何平均は高さに等しくなります。

定理とその逆

$h を$ 直角三角形の高さ、 $p$ と $q$ を斜辺上の線分とすると、定理は次のように表すことができます。^{[ 1 ]} $h={\sqrt {pq}}$ または地域の観点から言うと： $h^{2}=pq.$ その逆もまた真である。高さが、その三角形によって作られる2つの線分の幾何平均に等しい三角形は、直角三角形である。

この定理は、円の交差弦定理の特殊な場合と考えることもできます。なぜなら、タレスの定理の逆は、直角三角形の斜辺がその外接円の直径であることを保証するからです。^{[ 1 ]}

アプリケーション

面積に関する定式化により、定規とコンパスで長方形を正方形にする方法、つまり、与えられた長方形と同じ面積の正方形を作図する方法が得られます。辺の長さが $p$ と $q$ の長方形の場合、左上の頂点を $D$ とします。次に、線分 $qを$ $D$ を中心とする弧 $AE$ を使用して左に $p$ だけ延長し、新しい線分 $p$ $+$ $q$ $を直径とする、端点A$ と $B$ の半円を描きます。次に、 $D$ の直径に垂直な線を引いて、半円との交点を $Cとします。$ タレスの定理により、 $C$ と直径は線分 $DC$ を高さとする直角三角形を形成します。したがって、 $DC は$ 長方形と同じ面積の正方形の一辺になります。この方法は平方根の作図も可能にします (作図可能な数を参照)。幅が 1 の長方形から始めると、作図された正方形の一辺の長さは長方形の長さの平方根に等しくなります。^[¹^]

この定理の別の応用例として、半円の半径が $p$ と $q$ の算術平均であることから、2 つの数の場合のAM–GM 不等式の幾何学的証明が挙げられます。この半径は、上記のように構成された幾何平均に平行に描くことができ、幾何平均は常に半径以下であることが示され、不等式が得られます。^[²^]

歴史

この定理は通常、ユークリッド（紀元前360～280年頃）に帰せられており、彼は『原論』第6巻の命題8の系としてこれを述べた。第2巻の命題14で、ユークリッドは長方形を正方形にする方法を示しており、これは基本的にここで示されている方法と一致する。しかし、ユークリッドは幾何平均の定理に頼るのではなく、作図の正しさについて、やや複雑な別の証明を提供している。^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

証明

類似性に基づく証明

定理の証明

三角形 $△ ADC と△ BCD$ は相似である。なぜなら、次の条件を満たすからである。

三角形 $△ ABC 、△ ACD$ を考えます。ここでは次のようになります。 $\angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;$ したがってAA仮説により $\triangle ABC\sim \triangle ACD.$
さらに、三角形 $△ ABC 、△ BCD$ を考えます。ここでは次のようになります。 $\angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;$ したがってAA仮説により $\triangle ABC\sim \triangle BCD.$

$したがって、 △ ACD と△ BCDは$ どちらも $△ ABC$ と相似であり、つまり $\triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.$

類似性により、次の比率の等式が得られ、その代数的な変形により定理が得られます。^{[ 1 ]} ${\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\iff \,h^{2}=pq\,\iff \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)$

逆の証明

$逆の証明では、 h$ $2$ $=$ $pq$ が成り立つ三角形 $△ ABC が$ $あり、 C$ の角が直角であることを示す必要があります。h 2 = pq なので、次の $こと$ $も$ $成り立ち$ ます $。$ ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.$ と共に $\angle ADC=\angle CDB$ 三角形 $△ ADC と△ BDCは$ 、同じ大きさの角を持ち、対応する辺の比率が同じです。つまり、これらの三角形は相似であり、次のようになります。 ${\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}$

ピタゴラスの定理に基づく証明

幾何平均の定理の枠組みにおいて、ピタゴラスの定理が成り立つ直角三角形 $△ ABC$ 、 $△ ADC$ 、 $△ DBCが 3 つ存在する。$ ${\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}$ 最初の2つの式を足し合わせ、3つ目の式を使うと、次のようになります。 ${\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq,\end{aligned}}$ 最終的に幾何平均の定理の公式が得られる。^{[ 4 ]}

解剖と再構成に基づく証明

直角三角形を高さ $h$ に沿って分割すると、相似な三角形が 2 つでき、これらを 2 つの異なる方法で拡張して配置することで、長さがそれぞれ $p + h$ と $q + h$ の垂直な辺を持つより大きな直角三角形を作ることができます。一方の配置では面積 $h 2$ の正方形が必要となり、もう一方の配置では面積 $pq$ の長方形が必要となります。どちらの配置でも同じ三角形ができるので、正方形と長方形の面積は等しくなければなりません。

せん断マッピングに基づく証明

高さに基づいて構築された正方形は、3つのせん断写像（せん断写像は面積を保存する）を用いることで、辺の長さが $p$ と $q$ の等しい長方形に変換することができる。

参考文献

1 2 3 4 5 Hartmut Wellstein、Peter Kirsche:元素幾何学。シュプリンガー、2009、 ISBN 9783834808561、76-77ページ（ドイツ語、オンライン版、76ページ、Googleブックス）
↑ Claudi Alsina、Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images . MAA 2011、 ISBN 9780883853528、31～32ページ（オンライン版、31ページ、Googleブックス）
↑ユークリッド：原論、第2巻命題14、第6巻命題8（オンライン版）
↑イルカ・アグリコラ、トーマス・フリードリヒ：初等幾何学。AMS 2008、 ISBN 9780821843475、p.25 （オンライン版、p.25、Googleブックス）

外部リンク

カット・ザ・ノットの幾何平均

[HW-1] 1 2 3 4 5 Hartmut Wellstein、Peter Kirsche:元素幾何学。シュプリンガー、2009、 ISBN 9783834808561、76-77ページ（ドイツ語、オンライン版、76ページ、Googleブックス）

[2] Claudi Alsina、Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images . MAA 2011、 ISBN 9780883853528、31～32ページ（オンライン版、31ページ、Googleブックス）

[3] ユークリッド：原論、第2巻命題14、第6巻命題8（オンライン版）

[4] イルカ・アグリコラ、トーマス・フリードリヒ：初等幾何学。AMS 2008、 ISBN 9780821843475、p.25 （オンライン版、p.25、Googleブックス）

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