代数要素

数学において、AがK上の結合的代数である場合、 Aの元a はK上の代数的元と呼ばれる。あるいは、g ( a ) = 0となるようなKに係数を持つ非ゼロ多項式が存在する場合は、単にK上の代数的と呼ばれる。 ^[1] K上で代数的ではないAの元は、 K上で超越的と呼ばれる。 上の結合的代数の特殊なケースは、の拡大体である。 ${\displaystyle g(x)\in K[x]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

これらの概念は、代数的数と超越数を一般化します（体の拡大はC / Qで、C は複素数体、Q は有理数体です）。

• 2 の平方根は、係数が有理数である多項式g ( x ) = x ² − 2の根であるため、 Q上で代数的です。
• Pi はQ上では超越数ですが、実数体 R上では代数数です。つまり、係数 (1 と − π ) が両方とも実数であるg ( x ) = x − πの根ですが、有理数係数のみを持つ多項式の根ではありません。(超越数という用語の定義では、C / RではなくC / Qが使用されます。)

次の条件は、の拡張体の要素に対して同等です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle a}$は 上の代数的であり、${\displaystyle K}$
• 体拡大は代数的である、すなわちのすべての元は（ここで はおよびを含むの最小の部分体を表す）、${\displaystyle K(a)/K}$${\displaystyle K(a)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(a)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$
• 体の拡大は有限次数を持ち、つまりベクトル空間としての の次元は有限であり、${\displaystyle K(a)/K}$${\displaystyle K(a)}$${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$、ここで はのすべての要素の集合であり、の係数を持つ多項式で の形式で表すことができます。${\displaystyle K[a]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle g(a)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$

これをより明確にするために、多項式の評価 について考えてみましょう。これは準同型であり、その核はです。 が代数的である場合、このイデアルには非ゼロの多項式が含まれますが、がユークリッド領域であるように、 には最小次数と主係数 を持つ一意の多項式が含まれます。この多項式もイデアルを生成し、既約 でなければなりません。 この多項式はの最小多項式と呼ばれ、 の多くの重要な特性をエンコードします。したがって、準同型定理によって得られる環同型は体の同型であり、ここで であることが分かります。そうでない場合、は単射であるため、体同型 が得られます。ここでは の分数体、つまり上の有理関数の体です。これは分数体の普遍的特性によります。いずれの場合でも、同型または が見つかるという結論を下すことができます。この構成を調べると、目的の結果が得られます。 ${\displaystyle \varepsilon _{a}:K[X]\rightarrow K(a),\,P\mapsto P(a)}$${\displaystyle \{P\in K[X]\mid P(a)=0\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle K[X]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle K[X]/(p)\rightarrow \mathrm {im} (\varepsilon _{a})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varepsilon _{a})=K(a)}$${\displaystyle \varepsilon _{a}}$${\displaystyle K(X)\rightarrow K(a)}$${\displaystyle K(X)}$${\displaystyle K[X]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(a)\cong K[X]/(p)}$${\displaystyle K(a)\cong K(X)}$

この特徴付けは、 上の代数的元の和、差、積、商が 上でも代数的であることを示すのに使用できます。と が両方とも代数的である場合、 は有限です。 はとの前述の組み合わせを含むため、そのうちの 1 つを に接続しても有限拡張が生成され、したがってこれらの要素も代数的になります。したがって、上で代数的であるのすべての元の集合は、と の間に位置する体です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (K(a))(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

体の上に代数的元（自身の元を除く）を許さない体は代数的に閉じていると呼ばれます。複素数体はその一例です。が代数的に閉じている場合、上の の代数的元の体も代数的に閉じており、これもまた上記の単純な代数的拡大の特徴付けを使用して直接示すことができます。この例としては、代数的数の体があります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

• 代数的独立性

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001