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数学、特に順序理論では、ある順序付き集合( K、≤)の部分集合Sの上限または優位集合[ 1 ]は、 Sのすべての要素以上であるKの要素です。[ 2 ] [ 3 ]同様に、Sの下限または劣位集合は、 Sのすべての要素以下であるKの要素として定義されます。上限 (または下限) 境界を持つ集合は、その境界によって上から制限されている、または優位集合[ 1 ] (または下から制限されている、または劣位集合] であると言われます。上限 (または下限) 境界を持つ集合に対して、数学文献では「上から制限されている (または下から制限されている)」という用語も使用されます。[ 4 ]
例えば、5は集合S = {5, 8, 42, 34, 13934} (整数または実数などの部分集合として)の下限であり、4も同様です。一方、6 はSのすべての要素よりも小さくないので、Sの下限ではありません。13934およびx ≥ 13934となる他の数x はSの上限になります。
集合S = {42}は、 42 を上限と下限の両方として持ちます。他のすべての数は、そのSの上限または下限のいずれかです。
自然数のすべての部分集合には下限が存在します。なぜなら、自然数には最小元（慣例によって0または1）が存在するからです。自然数の無限部分集合は上限を持つことができません。整数の無限部分集合は下限を持つか上限を持つかのどちらかであり、両方を持つことはできません。有理数の無限部分集合は下限を持つ場合も持たない場合もあり、上限を持つ場合も持たない場合もあります。
空でない全順序集合の有限部分集合はすべて、上界と下界の両方を持つ。
これらの定義は、関数、さらには関数の集合にも一般化できる。
定義域Dと順序付き集合( K , ≤)を終域とする関数fが与えられたとき、 Kの要素yは、 Dの各xに対してy ≥ f ( x )が成り立つ場合、fの上限である。上限は、少なくとも 1 つのxの値に対して等号が成り立つ場合、シャープと呼ばれる。これは、制約が最適であることを示しており、不等式を無効にすることなく、それ以上縮小することはできない。
同様に、定義域D上で定義され、同じ終域( K , ≤)を持つ関数gは、 D内の各xに対してg ( x ) ≥ f ( x )が成り立つ場合、fの上界である。さらに、関数gは、関数の集合内の各関数の上界である場合、その関数の集合の上界であると言われる。
関数（の集合）の下限の概念は、≥ を ≤ に置き換えることで同様に定義されます。
上限値がそれより小さい値で上限値にならない場合、その上限値は厳密な上限値、最小上限値、または上限値と呼ばれます。同様に、下限値がそれより大きい値で下限値にならない場合、その下限値は厳密な下限値、最大下限値、または下限値と呼ばれます。
順序付き集合( K , ≤)の部分集合Sの上限u は、 uによって厳密に優位化されるKのすべての要素がSの何らかの要素によっても優位化される場合、 Sの正確な上限であると言われます。線形順序の縮約積の正確な上限は、 PCF 理論において重要な役割を果たします。[ 5 ]