繰り上がり（算術）

初等算術では、桁上げとは、ある桁の列から、より重要な桁の別の列に転送される桁のことです。これは、右端の桁から始めて左に向かって数字を加算する標準的なアルゴリズムの一部です。たとえば、6 と 7 を加算して 13 にする場合、「3」は同じ列に書き込まれ、「1」は左に桁上げされます。減算で使用される場合、この操作は「借用」と呼ばれます。

伝統的な数学では繰り上がりが重視されるが、改革数学に基づくカリキュラムでは正解を見つけるための特定の方法は重視されない。^[要出典]

繰り上がりは高等数学にも何度か登場します。コンピューティングにおいて、繰り上がりは加算回路の重要な機能です。

繰り上がりの典型的な例は、次の鉛筆と紙による加算です。

  1
  27
+ 59
----
  86

7 + 9 = 16 となり、数字1が繰り上がりとなります。

その反対は借用であり、

 −1
  47
− 19
----
  28

ここで、7 − 9 = −2なので、(10 − 9) + 7 = 8を試してください。10 は、左隣の数字から 1 を取って (「借りて」) 得られます。これを教える一般的な方法は 2 つあります。

1. 10 は次の桁から左に移動され、この例では10 の桁に3 − 1が残ります。この方法によると、 10 は決して返済されないため、 「借りる」という用語は誤った呼び方です。
2. 10 は次の左の桁からコピーされ、それを「借りた」列の減数に加えて「返済」されます。この例では、10 の桁に4 − (1 + 1)が与えられます。

伝統的に、繰り上がりは小学校 2 年生または 1 年生の後半に多桁の数字の足し算で教えられる。しかし、20 世紀後半以降、TERCなどの米国で開発され広く採用されている多くのカリキュラムでは、従来の繰り上がり法の指導が省略され、代わりに発明された算術法や、色付け、教具、チャートを使用する方法が採用された。このような省略はMathematical Correctなどのグループから批判され、一部の州や地区ではそれ以来この実験を放棄したが、広く使用されている。^{[引用が必要]}

クンマーの定理は、ある基数で 2 つの数を加算するときに発生する繰り上がりの数が、ある二項係数を割る最大累乗の指数に等しいことを述べています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

多数の桁の乱数を加算すると、繰り上がり桁の統計はオイラー数やリフルシャッフル順列の統計と予期せぬ関係を示す。^{[1] [2] [3] [4]}

抽象代数学では、2桁の数の繰り上がり演算は群コホモロジーの言語を使って形式化できる。^{[5] [6] [7]この観点は}実数の別の特徴付けにも適用できる。^{[8] [9]}

キャリーは、機械式計算機の設計者や製造者が直面する基本的な課題の 1 つです。設計者や製造者は 2 つの基本的な困難に直面しています。1 つ目は、キャリーによって複数の桁を変更する必要があるという事実に起因します。つまり、1 を 999 に加算するには、機械は 4 つの異なる桁を増分する必要があります。もう 1 つの課題は、次の桁が加算演算を終了する前にキャリーが「発生する」可能性があるという事実です。

ほとんどの機械式計算機は、加算自体の後に別のキャリー サイクルを実行することによってキャリーを実装します。加算中、各キャリーは実行されるのではなく「信号」で通知され、キャリー サイクル中に、マシンは「トリガーされた」桁より上の桁を増分します。キャリーを追加すると次の桁に新しいキャリーが生成される可能性があるため、この操作は、1 の位から始めて、10 の位、100 の位、というように順番に実行する必要があります。

いくつかの機械、特にパスカルの計算機は、2番目に作られた計算機として知られ、現存する最古の計算機ですが、異なる方法を採用しています。数字を0から9に増やすと、機械装置が作動してエネルギーを蓄え、数字を9から0に動かす次の増加で、このエネルギーが解放されて次の数字が1ずつ増えます。パスカルは、この機械に重りと重力を使用しました。同様の方法を採用した別の有名な機械は、重りをバネに置き換えた 19世紀の大成功を収めたコンプトメーターです。

いくつかの革新的な機械は連続伝送を使用している。つまり、任意の桁に 1 を加えると、次の桁が 1/10 進む (これにより次の桁が 1/100 進む、というように進む)。いくつかの革新的な初期の計算機、特に1870 年のチェビシェフ計算機^[10]や 1886 年の Selling の設計^[11]はこの方法を使用していたが、どちらも成功しなかった。1930 年代初頭、Marchant 計算機は連続伝送を実装し、その名も「Silent Speed」計算機を皮切りに大成功を収めた。Marchant (後にSCM Corporationとなる) はこれを使い続け、改良を重ね、機械式計算機の時代が終わる 1960 年代後半まで、比類のない速度を誇る連続伝送計算機を製造した。

加算器のようなデジタル回路について話すとき、キャリーという言葉は同様の意味で使用されます。

ほとんどのコンピュータでは、算術演算の最上位ビットからのキャリー（またはシフト演算からシフトアウトされたビット）は、特別なキャリービットに配置され、これは倍数精度演算のキャリーインとして使用したり、コンピュータプログラムの実行を制御するためにテストおよび使用したりできます。同じキャリービットは、減算での借入を示すためにも一般的に使用されますが、 2の補数演算の影響によりビットの意味は反転します。通常、キャリービットの値が「1」の場合は、加算がALUをオーバーフローしたことを意味し、CPUよりも長いデータワードを追加する場合は考慮する必要があります。減算演算では、ほとんどのマシンが借入時にキャリーフラグを設定するのに対し、一部のマシン（6502やPICなど）は借入時にキャリーフラグをリセットするため（逆の場合もあり）、2つの（反対の）規則が採用されています。

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• Weisstein、Eric W.「Carry」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「借用」。MathWorld。
• 持ち運び - nLab