準フィールド

数学において、擬体とは、 と が上の二項演算である代数構造 であり、除算環によく似ていますが、条件が少し弱くなります。すべての除算環、したがってすべての体 は擬体です。 ${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Q}$

準体とは、 および が上の二項演算であり、次の公理を満たす構造です。 ${\displaystyle (Q,+,\cdot )}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle (Q,+)}$グループです
• ${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$はループであり、${\displaystyle Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q}$（左分配性）
• ${\displaystyle a\cdot x=b\cdot x+c}$には、ちょうど1つの解があります。${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall a,b,c\in Q,a\neq b}$

厳密に言えば、これは左準体の定義です。右準体も同様に定義されますが、右分配法則を満たします。両方の分配法則を満たす準体は、射影幾何学で使用される意味で半体と呼ばれます。

仮定はされていないものの、公理は加法群がアーベル であることを意味することを証明できます。したがって、アーベル擬体について言及する場合、 がアーベルであることを意味します。 ${\displaystyle (Q,+)}$${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$

準体の核は、次のすべての要素の集合です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}$

二項演算とを に制限すると、 が除算環であることが示されます。 ${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (K,+,\cdot )}$

次のスカラー乗算を使用して、 上のベクトル空間を作成できます。${\displaystyle Q}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

有限分割環はウェダーバーンの定理により有限体なので、有限擬体の核の位数は素数冪である。ベクトル空間の構成は、任意の有限擬体の位数も素数冪でなければならないことを意味する。

すべての分割環、したがってすべての体は準体です。

(右)準場である (右) 近傍場は、「平面近傍場」と呼ばれます。

最小の準体は可換体であり、一意である。これらは8 次までの有限体である。分割環ではない最小の準体は、9 次までの 4 つの非可換準体であり、Hall (1959) および Weibel (2007) で紹介されている。

擬体 が与えられたとき、3元写像を次のように 定義する。${\displaystyle Q}$${\displaystyle T\colon Q\times Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}$

次に、 が平面三元環の公理を満たすことを検証できます。 に関連付けられているのは、対応する射影平面です。 このようにして構築された射影平面は、次のように特徴付けられます。この関係の詳細は、Hall (1959) に記載されています。 射影平面は、関連付けられている平面三元環のいずれか (またはすべて) が右準体である場合に限り、無限遠直線に関する並進平面です。 関連付けられている三元環のいずれか (またはすべて) が左準体である場合、せん断面と呼ばれます。 ${\displaystyle (Q,T)}$${\displaystyle (Q,T)}$

平面は一意に環を決定するわけではない。位数 9 の 4 つの非可換準体はすべて、位数 9 の唯一の非デザルグ変換平面の三元環である。これらは、平面を構築するために使用される基本四辺形が異なっている(Weibel 2007 を参照)。

準場は、1907 年の論文 (Veblen-Wedderburn 1907) でO. VeblenとJ. Wedderburnによって初めて研究されたため、1975 年以前の文献では「Veblen–Wedderburn システム」と呼ばれていました。準場の調査と射影平面への応用については、Hall (1959) と Weibel (2007) を参照してください。

• ホール、マーシャル・ジュニア（1959）、群論、マクミラン、LCCN  59005035、MR  0103215。
• ヴェブレン、O.; ウェダーバーン、JHM (1907)、「非デザルグ幾何学と非パスカル幾何学」、アメリカ数学会誌、8 (3): 379–388、doi : 10.2307/1988781、JSTOR  1988781
• ワイベル、チャールズ（2007）「非デザルグ平面の調査」、AMSの通知、54（10）：1294–1303

• 近接場
• セミフィールド
• 代替分割リング
• ホールシステム（ホール面）
• ムーファン飛行機

• Hauke Klein による Quasifields。