シンプルな拡張

体論において、単純拡大とは、原始元と呼ばれる単一の要素の付加によって生成される体拡大である。単純拡大はよく理解されており、完全に分類することができる。

原始元定理は有限単純拡張の特徴付けを提供します。

体拡大L / Kは、Lに元θが存在し、

${\displaystyle L=K(\theta ).}$

これは、 Lのすべての要素が、 Kの係数を持つθの有理分数として表現できることを意味します。つまり、これは、θとKの要素から、体演算 +、-、•、/ によって生成されます。同様に、L はKとθ の両方を含む最小の体です。

単純な拡張機能には 2 種類あります (以下の単純な拡張機能の構造を参照)。

元θ はK上で超越的である可能性があり、これはKに係数を持つ多項式の根ではないことを意味する。この場合、は有理関数の体と同型である。${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K(X).}$

それ以外の場合、θはK上の代数的である。つまり、θ はK上の多項式の根である。 θを根とする最小次数 n の単項多項式は、 θ の最小多項式と呼ばれる。その次数は、体拡大の次数、つまり K ベクトル空間として見た L の次元に等しい。この場合、のすべての要素は、n未満の次数のθの多項式として一意に表現でき、商環と同型である。 ${\displaystyle p(X)}$ ${\displaystyle K(\theta )}$${\displaystyle K(\theta )}$ ${\displaystyle K[X]/(p(X)).}$

どちらの場合も、元θは拡大の生成元または原始元と呼ばれます。また、 L はθによってK上に生成されると も言われます。

たとえば、すべての有限体は、同じ特性を持つ素体の単純な拡大です。より正確には、pが素数で、q個の元を持つ体がのn次単純な拡大である場合、実際、L は、 のn次既約多項式の根である任意の元θによって体として生成されます。 ${\displaystyle q=p^{n},}$${\displaystyle L=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}.}$ ${\displaystyle K[X]}$

しかし、有限体の場合、原始元という用語は通常、より強い概念、つまり乗法群として生成する元γ を指すために予約されています。そのため、 Lのすべての非ゼロ元はγの累乗です。つまり、群演算 • のみを使用してγから生成されます。これらの意味を区別するために、弱い意味には「生成元」または体原始元という用語を使用し、強い意味には「原始元」または群原始元という用語を使用します。^{[1] (} 「有限体 § 乗法構造」および「原始元 (有限体) 」を参照)。 ${\displaystyle L^{\times }=L-\{0\}}$

L をθによって生成されるKの単純拡張とする。多項式環K [ X ] の主な性質の 1 つは、一意な環準同型性である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\f(X)&\mapsto f(\theta )\,.\end{aligned}}}$

2つのケースが発生する可能性があります。

が単射である場合、 K [ X ]の分数体K ( X )に単射的に拡張できます。 Lはθによって生成されるため、 はK ( X ) からLへの同型であることを意味します。 これは、 Lのすべての要素がθの多項式の既約分数に等しく、そのような 2 つの既約分数が等しいのは、分子と分母にKの同じ非ゼロ要素を乗じて一方から他方へ移行できる場合のみであることを意味します。 ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle \varphi}$

が単射でない場合、 p ( X ) をその核の生成元とし、これはθの極小多項式となります。の像はLの部分環であるため、整域となります。これは、p が既約多項式であること、したがって商環が体であることを意味します。Lはθによって生成されるため、は射影的であり、からLへの同型を誘導します。これは、 Lのすべての要素が、次数 より低い次数のθ内の一意の多項式に等しいことを意味します。つまり、によって与えられるLのK基底があります。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle K[X]/\langle p(X)\rangle }$${\displaystyle n=\operatorname {deg} p(X)}$${\displaystyle 1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}}$

• C / R はによって生成されました。${\displaystyle \theta =i={\sqrt {-1}}}$
• Q ( ) / Qによって生成されます。${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \theta ={\sqrt {2}}}$
• 任意の数体（すなわち、 Qの有限拡大）は、何らかのθに対する単純な拡大Q ( θ ) です。たとえば、は によって生成されます。${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})}$${\displaystyle \theta ={\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}$
• 有理関数体F ( X ) / F は形式変数Xによって生成されます。

• 単純な体拡大上の乗算写像のコンパニオン行列

• ローマン、スティーブン（1995）。場の理論。数学大学院テキスト。第158巻。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94408-7.ZBL0816.12001  。​