ガロア拡大における素イデアルの分割

以下では、拡大L / Kはガロア拡大であると仮定する。すると、素数回避補題を用いてガロア群を示すことができる。${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$P _jに対して推移的に作用する。つまり、Lにおけるpの素イデアル因子は、 K上のLの自己同型の下で単一の軌道を形成する。このことと一意分解定理から、 f = f _jおよびe = e _jはjに依存しないことが導かれる。これは、ガロア拡大でない拡大では必ずしもそうではない。基本的な関係は次のようになる。

${\displaystyle pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}}$。

そして

${\displaystyle [L:K]=efg.}$

上記の関係式は、[ L  : K ]/ ef がO _Lにおけるpの素因数gの数に等しいことを示しています。軌道安定化公式により、この数はすべてのjについて| G | / | D _{P j} |にも等しくなります。ここで、P _jの分解群であるD _{P j}は、与えられたP _{j を}それ自身に写すGの要素の部分群です。基本的なガロア理論により、 L / Kの次数とGの位数は等しいので、すべてのjについて分解群D _{P j}の位数はefとなります 。

この分解群には、 L / Kの自己同型写像​​からなる部分群I _{P j} （ P _jの慣性群と呼ばれる）が含まれており、これはF _j上の恒等自己同型写像​​を誘導する。言い換えれば、I _{P j}は縮小写像の核である。${\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$この写像が全射であることが示され、したがって${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}$はD _{P j} / I _{P j}と同型であり、慣性群I _{P j}の位数はeである。

フロベニウス要素の理論はさらに進み、与えられたjに対して、有限体拡大F _j / Fのガロア群におけるフロベニウス自己同型に対応するD _{P j} / I _{P j}の要素を特定します。分岐しない場合、D _{P j}の位数はfであり、I _{P j}は自明であるため、この場合、フロベニウス要素はD _{P j}の要素であり、したがってGの要素でもあります。jを変化させると、群D _{P j}はG内の共役部分群になります。GがP _jに推移的に作用することを思い出すと、 σ がP _jをP _{j ′}に写像する場合、$\displaystyle \sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}}$したがって、Gがアーベル群である場合、分岐のない素数Pのフロベニウス元は、どのP _jを取るかに依存しません。さらに、アーベルの場合、 Kの分岐のない素数をそのフロベニウス元に対応付け、乗法的に拡張することで、 Kの分岐のないイデアルの群からGへの準同型が定義されます。この写像は、アルティン写像として知られており、与えられた数体Kの有限アーベル拡大を研究する類体理論の重要な要素です。^{[ 1 ]}

幾何学的類似例として、複素多様体や代数的に閉じた体上の代数幾何学では、分解群と慣性群の概念が一致する。ガロア分岐被覆が与えられた場合、有限個の点を除いて、すべての点が同じ数の逆像を持つ。

ガロア拡大ではない拡大における素数の分解は、まず分解体、すなわちやや大きめのガロア拡大を用いて研究することができる。例えば、3次体は通常、それらを含む次数6の体によって「正則化」される。

Zの素数 2 はZ [ i ]で分岐します。

${\displaystyle (2)=(1+i)^{2}}$

したがって、ここでの分岐指数はe = 2 である。剰余体は

${\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}}$

これは2つの要素を持つ有限体です。分解群はGのすべてに等しくなければなりません。なぜなら、 Z [ i ]の素数は2より大きいものが1つしかないからです。慣性群もGのすべてです。

${\displaystyle a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$

任意の整数aおよびbに対して、${\displaystyle a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i}$。

実際、2 はZ [ i ]で分岐する唯一の素数です。なぜなら、分岐するすべての素数はZ [ i ]の判別式である− 4 を割り切る必要があるからです。

任意の素数p ≡ 1 mod 4 は、 Z [ i ]内の 2 つの異なる素イデアルに分解されます。これは、2 つの平方数の和に関するフェルマーの定理の現れです。例:

${\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)}$

この場合の分解群はどちらも自明群{1} です。実際、自己同型 σは2 つの素数 ( 2 + 3 i ) と ( 2 − 3 i ) を入れ替えるので、どちらの素数の分解群にも属しません。慣性群は分解群の部分群なので、自明群でもあります。各素数に対して 1 つずつ、2 つの剰余体があります。

${\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,}$

これらは両方とも13個の要素を持つ有限体と同型です。フロベニウス要素は自明な自己同型です。これは、

${\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}$

任意の整数aおよびbに対して。

任意の素数p ≡ 3 mod 4 はZ [ i ]において不活性のままであり、つまり分解しません。例えば、(7) はZ [ i ] において素数のままです。この場合、素因数が 1 つしかないため、分解群はG全体になります。ただし、この状況はp = 2 の場合とは異なり、σ は剰余体に対して自明に作用しません。

${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\ ,}$

^{これは、7 2} = 49 個の要素を持つ有限体です。たとえば、${\displaystyle 1+i}$そして${\displaystyle \sigma (1+i)=1-i}$は${\displaystyle 2i}$これは確かに 7 で割り切れません。したがって、慣性群は自明群 {1} です。部分体Z /7 Z上のこの剰余体のガロア群は位数 2 であり、フロベニウス要素の像によって生成されます。フロベニウス要素は σ に他なりません。これは、

${\displaystyle (a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}}$

任意の整数aおよびbに対して。

ガウス整数の場合をもう一度考えてみましょう。θを虚数単位とします。${\displaystyle i}$最小多項式H ( X ) = X ² + 1で。Z [${\displaystyle i}$] はQの整数環全体です(${\displaystyle i}$)導体は単位イデアルなので、例外的な素数は存在しない。

P = (2)の場合、体Z /(2) Zで作業する必要があり、これは多項式X ² + 1 を法 2 で因数分解することに相当します。

${\displaystyle X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.}$

したがって、慣性次数1、分岐指数2の素因数は1つだけであり、それは次のように表される。

${\displaystyle Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].}$

次のケースは、素数p ≡ 3 mod 4 に対してP = ( p ) の場合です。具体的には、P = (7) とします。多項式X ² + 1 は 7 を法として既約です。したがって、慣性次数 2、分岐指数 1 の素因数は 1 つだけであり、それは次のように与えられます。

${\displaystyle Q=(7)\mathbf {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbf {Z} [i]=7\mathbf {Z} [i].}$

最後のケースは、素数p ≡ 1 mod 4 に対してP = ( p ) です。ここでもP = (13)とします。今回は因数分解が得られます。

${\displaystyle X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13}}.}$

したがって、慣性度と分岐指数がともに1である素因数が2つ存在する。それらは次式で与えられる。

${\displaystyle Q_{1}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i+5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbf {Z} [i]}$

そして

${\displaystyle Q_{2}=(13)\mathbf {Z} [i]+(i-5)\mathbf {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbf {Z} [i].}$