セミフィールド

数学において、半体とは、加算と乗算という2 つの二項演算を持つ代数構造であり、体に似ていますが、いくつかの公理が緩和されています。

半体という用語には矛盾する 2 つの意味があり、どちらも特別なケースとして体を含みます。

• 射影幾何学と有限幾何学（MSC 51A、51E、12K10）において、半体とは、乗法単位元を持つ非結合的除算環である。 ^[1]より正確には、非零元が乗法の下でループを形成する非結合的環 である。言い換えれば、半体とは、2つの演算 + (加算) と · (乗算) を持つ集合Sであり、
  • ( S ,+) はアーベル群であり、
  • 乗算は左と右の両方で分配的である。
  • 乗法単位元が存在し、
  • 除算は常に可能です。つまり、S内のすべてのaとすべての非ゼロのbに対して、 b · x = aかつy · b = aとなる唯一のxとy がS内に存在します。

特に、乗法は可換または結合的であるとは仮定されていないことに注意してください。結合的な半体は除算環であり、結合的で可換な半体は体です。この定義による半体は準体の特殊なケースです。S が有限の場合、上記の定義の最後の公理は、零因子が存在しないという仮定に置き換えることができ、a ⋅ b = 0はa = 0 またはb = 0を意味します。 ^[2]結合性がないため、最後の公理は、体や除算環の定義で通常見られる、すべての零でない要素に乗法逆が存在するという仮定と同等ではないことに注意してください。

• 環論、組合せ論、関数解析、理論計算機科学( MSC 16Y60 )において、半体とは、すべての非零元に逆元が存在する半環( S ,+,·) のことである。 ^{[3] [4]これらのオブジェクトは、}適切な半体とも呼ばれる。この定義のバリエーションは、S が乗法単位eとは異なる吸収零点を含み、非零元が可逆であり、 a ·0 = 0 · a = 0であることが要求される場合に生じる。乗法は結合法であるため、半体の (非零) 元は群を形成する。しかし、ペア ( S ,+) は単なる半群であり、すなわち加法逆元が存在する必要はない、または口語的に「減法はない」。乗法が結合法であるとは想定されない場合もある。

半体 D は、D* の非ゼロ元の集合が w のすべての右 (左) 主冪の集合に等しいような元 w を持つ場合、右 (左) 原始的と呼ばれます。

ここでは、2 番目の意味での半体、つまり分配乗法を伴う加法半群の例のみを示します。さらに、この例では、加算は可換であり、乗算は結合的です。

• 通常の加算と乗算を伴う正の 有理数は、可換半体を形成します。

  これは吸収 0 によって拡張できます。

• 通常の加算と乗算を伴う正の実数は、可換半体を形成します。

  これは吸収 0 によって拡張することができ、確率半環を形成します。これは対数半環と同型です。

• f / gの形式の有理関数（fとg は、正の係数を持つ 1 変数の実数の部分体上の多項式）は、可換半体を形成し ます。

  これは 0 を含むように拡張できます。

• 実数R は、2 つの要素の和が最大値、積が通常の和として定義される半体と見なすことができます。この半体は、より簡潔に ( R , max, +) と表記されます。同様に、 ( R , min, +) も半体です。これらは熱帯半環と呼ばれます。

  これは -∞ (吸収 0) まで拡張できます。これは、底が無限大になるときの対数半環の極限 (熱帯化)です。

• 前の例を一般化すると、( A ,·,≤) が格子順序群である場合、( A ,+,·) は、半体和が 2 つの要素の最大値として定義される加法冪等半体です。逆に、任意の加法冪等半体 ( A ,+,·) は、格子順序群 ( A ,·,≤) を定義します。ここで、a ≤ b は、 a + b = bの場合にのみ当てはまります。
• ブール半体B = {0, 1} では、加算は論理和で定義され、乗算は論理積で定義されます。

• 平面三元環（第一の意味）