複素乗算

数学において、複素乗法（CM）は、整数よりも大きい自己準同型環を持つ楕円曲線 Eの理論である。^[1]言い換えれば、周期格子がガウス整数格子またはアイゼンシュタイン整数格子であるときに見えるような、追加の対称性を持つ楕円関数の理論を含む。

それは特殊関数の理論に属する側面を持っています。なぜなら、そのような楕円関数、または複数の複素変数のアーベル関数は、追加の恒等式を満たし、特定の点で明示的に計算可能な特別な値を取る「非常に特別な」関数だからです。それはまた、代数的整数論の中心的なテーマであることが判明しており、円分体の理論のいくつかの特徴をより広い応用分野に持ち込むことを可能にしています。ダヴィト・ヒルベルトは、楕円曲線の複素乗法の理論は数学だけでなくすべての科学の中で最も美しい部分であると述べたと言われています。^[2]

また、ある厳密な意味で十分な自己準同型性を持つアーベル多様体Aの高次元複素乗法理論もあり、大まかに言えば、 Aの単位元における接空間への作用は1 次元加群の直和になります。

虚数二次体 を考えます。内のすべての に対してとの間に代数関係がある場合、楕円関数は複素乗算を持つと言われます。 ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(\lambda z)}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle K}$

逆に、クロネッカーは、クロネッカーのユーゲントの夢として知られるようになった理論で、のすべてのアーベル拡大は、複素乗算を伴う適切な楕円曲線の方程式（の根）によって得られると予想しました。今日に至るまで、これはヒルベルトの第 12 問題で実際に解決された数少ないケースの 1 つです。 ${\displaystyle K}$

複素乗算を伴う楕円曲線の例は次の通りである。

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

ここでZ [ i ] はガウス整数環、θ は任意の非零複素数である。このような複素トーラスはガウス整数を自己準同型環として持つ。対応する曲線はすべて次のように書けることが知られている。

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

に対して、これは２つの共役な位数４の自己同型を持ち、 ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

ワイエルシュトラスの楕円関数に対するiの作用と一致します。

より一般的には、 によって生成される複素平面上の加法群である格子 Λ を考えます。次に、変数 のワイエルシュトラス関数を次のように定義します。 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}},}$

そして

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

を の導関数とします。すると、複素リー群の同型が得られます。 ${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \wp}$

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

複素トーラス群から同次座標で定義される射影楕円曲線へ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

また、楕円曲線の群法則の零元である無限遠点は慣例により とみなされます。楕円曲線を定義する格子が の整数環（の適切な部分環である可能性あり）による乗算で実際に保存される場合、 の解析的自己同型環はこの（部分）環に同型であることがわかります。 ${\displaystyle (0:1:0)}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$

とを書き直すと、 ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

これは、 が複素乗算を持つ場合、のj 不変量は代数的数（ に含まれる）であることを意味します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$

楕円曲線の自己準同型環は、整数Z、虚数二次数体における順序、またはQ上の定位四元数代数における順序の3つの形式のいずれかになります。^[3]

定義体が有限体である場合、フロベニウス写像から来る楕円曲線の非自明な自己準同型が常に存在するため、そのような曲線はすべて複素乗算を持ちます（この用語はあまり適用されません）。しかし、基底体が数体である場合、複素乗算は例外です。一般的な意味では、複素乗算の場合がホッジ予想を解決するのが最も難しいことが知られています。

クロネッカーは、楕円関数のねじれ点での値は虚数二次体のすべてのアーベル拡大を生成するのに十分であるはずだと最初に仮定したが、この考えは場合によってはアイゼンシュタインにまで遡り、ガウスにまで遡った。これはクロネッカーの青年の夢として知られるようになり、確かにヒルベルトの上記の発言を促したものであり、それは志村の相互法則を介して有理数体のアーベル拡大に対して単位根が行うのと同じように類体理論を明示的に示しているからである。

実際、K を類体H を持つ虚二次体とする。E をH上で定義されたKの整数による複素乗算を持つ楕円曲線とする。すると、Kの最大アーベル拡大は、H上のEのあるワイエルシュトラスモデル上の有限位数の点のx座標によって生成される。^[4]

クロネッカーの考えについては多くの一般化が試みられてきたが、それらはラングランズ哲学の主旨からいくぶん外れており、現在のところ決定的な説明は知られていない。

ラマヌジャン定数、超越数^[5]が

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

または同等に、

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

はほぼ整数であり、整数に非常に近い。^[6]この注目すべき事実は、複素乗法の理論とモジュラー形式に関する知識、 および

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

は一意の因数分解領域です。

ここでα ² = α − 41を満たします。一般に、S [ α ] はSに係数を持つ α のすべての多項式式の集合を表し、 S はαとS を含む最小の環です。 α はこの二次方程式を満たすため、必要な多項式は 1 次までに制限できます。 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$

あるいは、

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

特定のアイゼンシュタイン級数による内部構造、および他のヘーグナー数についても同様の単純な表現が可能です。

複素乗法を持つ複素数上の楕円曲線の周期比に対応する上半平面τの点は、まさに虚数二次数である。 ^[7]対応するモジュラー不変量 j ( τ ) は特異モジュライであり、「特異」が特異曲線を指すのではなく、非自明な自己準同型性を持つ性質を指していた古い用語に由来する。^[8]

モジュラー関数 j ( τ )は虚数2次数τ上で代数的である: ^{[9]これらは}jが代数的である上半平面上の唯一の代数的数である。^[10]

Λ が周期比τの格子である場合、 j ( τ ) をj (Λ) と書きます。さらに Λ が二次虚数体Kの整数環O _Kのイデアルaである場合、対応する特異係数をj ( a ) と書きます。値j ( a ) は実代数的整数であり、Kのヒルベルト類体Hを生成します。体拡大次数 [ H : K ] = hはKの類数であり、H / K はKのイデアル類群に同型のガロア群を持つガロア拡大です。類群は値j ( a ) に [ b ] : j ( a ) → j ( ab ) によって作用します。

特に、Kのクラス番号が1の場合、j ( a ) = j ( O )は有理整数です。たとえば、j ( Z [i]) = j (i) = 1728です。

• 代数的ヘッケ指標
• ヒーグナーポイント
• ヒルベルトの第12の問題
• ルビン・テイト形式群、局所体
• Drinfeld shtuka、グローバル関数フィールドの場合
• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明

• PlanetMath.orgの複素乗算
• PlanetMath.orgからの複素乗算を伴う楕円曲線の例
• Ribet, Kenneth A. (1995 年 10 月). 「ガロア表現とモジュラー形式」.アメリカ数学会報. 32 (4): 375–402. arXiv : math/9503219 . CiteSeerX  10.1.1.125.6114 . doi :10.1090/s0273-0979-1995-00616-6. S2CID  16786407.