近距離場（数学）

数学において、近接体とは、除法環に似た代数構造であるが、分配法則のうち一方しか持たない点が異なる。言い換えれば、近接体とは、乗法単位元が存在し、すべての非零元が乗法逆元を持つ近接環のことである。

近距離場は${\displaystyle Q}$2 つの二項演算と合わせて、${\displaystyle +}$（追加）そして${\displaystyle \cdot }$（乗算）すべての${\displaystyle a,b,c}$で${\displaystyle Q}$。

A1:${\displaystyle (Q,+)}$はアーベル群である。

A2:${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$（乗法の結合法則）

A3:${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$（正しい分配法則）

A4:${\displaystyle Q}$非ゼロ要素1を含み、${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$（乗法単位元）

A5: ゼロ以外のすべての要素について${\displaystyle d}$で${\displaystyle Q}$要素が存在する$\displaystyle d^{-1}}$そのため${\displaystyle d\cdot d^{-1}=1=d^{-1}\cdot d}$（乗法逆数）

1. 任意の分割環（任意の体を含む）は近接場である。
2. 以下は、次数9の（右）近接場を定義する。これは、場ではない最小の近接場である。

   させて${\displaystyle K}$を位数9のガロア体とする。 の乗法を で表す。${\displaystyle K}$による '${\displaystyle *}$'. 新しい二項演算 ' · ' を次のように定義します。

   もし${\displaystyle b}$は、${\displaystyle K}$これは正方形で${\displaystyle a}$は、${\displaystyle K}$それから${\displaystyle a\cdot b=a*b}$。

   もし${\displaystyle b}$は、${\displaystyle K}$これは正方形ではなく、${\displaystyle a}$は、${\displaystyle K}$それから${\displaystyle a\cdot b=a^{3}*b}$。

   それから${\displaystyle K}$これは、この新しい乗算と以前と同じ加算による近接場である。^{[ 4 ]}

近接体の概念は、 1905 年にレナード・ディクソンによって初めて導入されました。彼は除法環を取り上げ、乗法を修正し、加算はそのままにして、除法環ではない近接体の最初の既知の例を生み出しました。この方法で生成された近接体はディクソン近接体として知られています。上記の 9 位の近接体はディクソン近接体です。 ハンス・ザッセンハウスは、7 個を除くすべての有限近接体が体またはディクソン近接体であることを証明しました。^{[ 2 ]}

近接場の概念の最も初期の応用は、射影平面などの入射幾何学の研究であった。^{[ 5 ] [ 6 ]}多くの射影平面は分割環上の座標系で定義できるが、そうでないものもある。任意の近接環からの座標を許容することで、座標化できる幾何学の範囲が拡張されることがわかった。たとえば、マーシャル・ホールは、上記の9次の近接場を使用してホール平面を生成した。これは、素数の2乗次のディクソン近接場に基づく一連の平面の最初のものである。1971年にTGルームとPBカークパトリックは別の展開を提供した。^{[ 7 ]}

他にも多くの応用例があり、そのほとんどは幾何学に関するものです。^{[ 8 ]}近接場のより最近の応用例としては、ヒル暗号などのデータ暗号化のための暗号の構築があります。^{[ 9 ]}

させて${\displaystyle K}$近傍場とする。${\displaystyle K_{m}}$をその乗法群とし、${\displaystyle K_{a}}$をその付加基とする。${\displaystyle c\in K_{m}}$行動する${\displaystyle b\in K_{a}}$による${\displaystyle b\mapsto b\cdot c}$近接場の公理は、これが群自己同型による右群作用であることを示している。${\displaystyle K_{a},}$そして、${\displaystyle K_{a}}$単純な安定翼を持つ単一軌道を形成する。

逆に、${\displaystyle A}$はアーベル群であり、${\displaystyle M}$は、${\displaystyle \mathrm {Aut} (A)}$これは、非ゼロ要素に対して自由かつ推移的に作用する。${\displaystyle A}$すると、加法群を持つ近接場を定義できる。${\displaystyle A}$乗法群${\displaystyle M}$要素を選択してください${\displaystyle A}$電話する${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle \phi :M\to A\setminus \{0\}}$全単射${\displaystyle m\mapsto 1\ast m}$。次に、加算を定義します。${\displaystyle A}$付加基構造により${\displaystyle A}$乗算を次のように定義します。${\displaystyle a\cdot b=1\ast \phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)}$。

フロベニウス群は、次の形式の有限群として定義できる。${\displaystyle A\rtimes M}$どこ${\displaystyle M}$非ゼロ要素に対して安定化なしで作用する${\displaystyle A}$したがって、近傍場はフロベニウス群と一対一であり、${\displaystyle |M|=|A|-1}$。

前述のように、ザッセンハウスは、すべての有限近傍場はディクソンの構成から生じるか、7つの例外的な例のいずれかであることを証明しました。この分類をペアで説明することで、${\displaystyle (A,M)}$どこ${\displaystyle A}$はアーベル群であり、${\displaystyle M}$は自己同型群である${\displaystyle A}$これは、非ゼロ要素に対して自由かつ推移的に作用する。${\displaystyle A}$。

ディクソンの構成は次のように進む。^{[ 10 ]}${\displaystyle q}$素数のべき乗であり、正の整数を選択する${\displaystyle n}$すべての素因数が${\displaystyle n}$分ける${\displaystyle q-1}$そして、もし${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$、 それから${\displaystyle n}$は割り切れません${\displaystyle 4}$。 させて${\displaystyle F}$位数の有限体とする$\displaystyle q^{n}}$そして${\displaystyle A}$の付加基である${\displaystyle F}$乗法群${\displaystyle F}$フロベニウス自己同型とともに${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$自己同型群を生成する${\displaystyle F}$形式${\displaystyle C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}}$、 どこ${\displaystyle C_{k}}$位数 の巡回群${\displaystyle k}$の可除条件${\displaystyle n}$サブグループを見つけることを可能にする${\displaystyle C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}}$順序$\displaystyle q^{n}-1$これは、${\displaystyle A}$事件${\displaystyle n=1}$これは可換有限体の場合です。上記の9要素の例は${\displaystyle q=3}$、${\displaystyle n=2}$。

7つの例外的な例では、${\displaystyle A}$形式は${\displaystyle C_{p}^{2}}$この表は、ローマ数字による番号付けを含め、ザッセンハウスの論文から引用したものである。^{[ 2 ]}

二元四面体群、八面体群、二十面体群は、プラトン立体の回転対称群の中心拡張である。これらの回転対称群は${\displaystyle A_{4}}$、${\displaystyle S_{4}}$そして${\displaystyle A_{5}}$それぞれ。${\displaystyle 2T}$そして${\displaystyle 2I}$また、次のように表現することもできます。${\displaystyle SL(2,\mathbb {F} _{3})}$そして${\displaystyle SL(2,\mathbb {F} _{5})}$。

• ニアリング
• 平面三元環
• 準場

• ハウケ・クラインによる「ニアフィールド」 。