ガウス有理数

数学において、ガウス有理数はp  +  qi の形式の複素数であり、pとq は両方とも有理数です。すべてのガウス有理数の集合は、虚数i を有理数体Qに付加することで得られるガウス有理体Q ( i )を形成します。

ガウス有理数体は、2次体と円分体の両方である代数的数体の例を提供します（ iは1の4乗根であるため ）。すべての2次体と同様に、これは、この場合は複素共役によって生成された、位数2のガロア群巡回を持つQのガロア拡大であり、したがって、導体4を持つQのアーベル拡大です。 ^[1]

より一般的な円分体と同様に、ガウス有理数体は順序付きでも完全でもありません（距離空間として）。ガウス整数 Z [ i ] はQ ( i )の整数環を形成します。すべてのガウス有理数の集合は可算無限です。

ガウス有理数体も、自然基底を持つQ上の2 次元ベクトル空間です。 ${\displaystyle \{1,i\}}$

フォード円の概念は、有理数からガウス有理数に一般化することができ、フォード球を与える。この構成では、複素数は3次元ユークリッド空間内の平面として埋め込まれ、この平面内の各ガウス有理数点に対して、その点で平面に接する球が構成される。ガウス有理数を最小の項で表すと（つまり、とは互いに素）、この球の半径は となるはずである。ここでは二乗係数、 は複素共役である。結果として得られる球は、およびのガウス有理数のペアに対して と接し、それ以外の場合は互いに交差しない。^{[2] [3]}${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1/2|q|^{2}}$${\displaystyle |q|^{2}=q{\bar {q}}}$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\displaystyle P/Q}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle |Pq-pQ|=1}$