ミルナーK理論

グロタンディーク群の定義後${\displaystyle K(R)}$可換環の場合、不変量の列が存在することが期待される。${\displaystyle K_{i}(R)}$短い正確なシーケンスが存在するという事実から、高次のK 理論群と呼ばれる。

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

これは、長い完全系列による継続を持つはずです。左側の群は相対K理論であることに注意してください。これは多くの研究につながり、この理論がどのようなものになるかについての最初の推測として、ミルナーは場の定義を与えました。彼の定義は、高次のK理論が次数で「どのように見えるべきか」についての2つの計算に基づいています。${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle 2}$そして、代数的K理論の後の一般化が与えられた場合、生成子が${\displaystyle K_{*}(R)}$学位を取得して生活${\displaystyle 1}$そして次数の関係${\displaystyle 2}$すると、次の段階の構造${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle 2}$残りのK 理論環の構造を与えることになる。この仮定の下で、ミルナーは「アドホックな」定義を与えた。代数的K 理論は${\displaystyle K_{*}(R)}$一般的にはより複雑な構造を持つが、体の場合、ミルナーK理論群は、テンソル化後に一般代数K理論群に含まれる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$つまり$\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$[ ^{3 ]自然の}地図は${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$グローバルフィールドに対して単射性を持たない${\displaystyle F}$^{[ 3 ] 96ページ}。

体の場合、グロタンディーク群は次のように簡単に計算できます。${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$有限生成モジュールは有限次元ベクトル空間のみであるため、ミルナーによる高次K群の定義は正準同型性に依存する。

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

（ユニットのグループ）${\displaystyle F}$）そして松本秀也による場のK2の計算を観察し、簡単な説明を与えた_。

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}$

要素によって生成される両面イデアル${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$スタインバーグ関係と呼ばれる。ミルナーはこれらが唯一の関係であるという仮説を立て、ミルナーK理論の「アドホック」な定義を次のように与えた。

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

これらの群の直和は、乗法群の整数上のテンソル代数と同型である。${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$二面性を持つ理想によって生成されたもの：

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

それで

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

これは、彼の定義がスタインバーグの関係の直接的な拡張であることを示している。

成績評価モジュール${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$は次数付き可換環である^{[ 1 ] pg 1-3}。^{[ 4 ]}と書くと

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

として

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

それから${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$そして${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$我々は持っています

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

この性質の証明から、次のような追加の性質が導き出されます。$${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$のために${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$以来${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$また、もし${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$非ゼロフィールド要素の${\displaystyle 0,1}$、 それから$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$直接的な算術応用例があります。${\displaystyle -1\in F}$が平方和となるのは、すべての正の次元が${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$は冪零であり、これはミルナーK群の構造に関する強力な記述である。特に、体の場合${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$、${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$と${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$、そのミルナーK群はすべて冪零である。逆の場合、体は${\displaystyle F}$実閉体に埋め込むことができ、それによって体上の全順序が与えられる。

ミルナーK理論と高次代数K理論を関連付ける主要な特性の1つは、自然な同型が存在するという事実である。$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$ブロッホの高次群は、段階的環の射を誘導する$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$これは明示的な射を用いて検証できる^{[ 2 ] 181ページ}$${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$どこ$${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$この地図は$${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$のために${\displaystyle [a]}$ポイントのクラス${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$と${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$確認すべき主な特性は${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$のために${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$そして${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$これは以下とは異なります${\displaystyle [a]\cdot [b]}$これは要素なので${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$また、2番目の性質は、最初の性質を暗示します。${\displaystyle b=1/a}$このチェックは、サイクルを定義する有理曲線を使用して行うことができます。${\displaystyle C^{1}(F,2)}$境界地図の下にある画像${\displaystyle \partial }$合計は${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$のために${\displaystyle ab\neq 1}$境界が異なることを示しています。同様に、${\displaystyle ab=1}$境界マップはこのサイクルを${\displaystyle [a]-[1/a]}$境界が異なることを示している。次に示すべき主な性質はスタインバーグ関係である。これらと、高次のチャウ群が環状構造を持つという事実から、$${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$明示的なマップが得られます$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$逆方向のマップを同型写像として示すのは手間がかかりますが、同型写像が得られます。$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$同型写像が存在するという事実を利用して、高次のチャウ群を高次の代数的K理論に関連付けることができる。$${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$これは、クィレンの高次代数的K理論との関係を示している。

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

体のミルナーK群からクイレンK群への同型写像は、${\displaystyle n\leq 2}$ただし、一般的にはnが大きい場合には当てはまらない。非ゼロ要素の場合${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$Fでは、記号${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$で${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$とは、${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$テンソル代数において。ミルナーK理論のすべての要素は、記号の有限和として記述できる。${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$で${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$のために${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$これはスタインバーグ関係と呼ばれることもある。

モチーフコホモロジー、特にモチーフホモトピー理論では、層が存在する。${\displaystyle K_{n,A}}$アーベル群の係数を持つミルナーK理論の一般化を表す${\displaystyle A}$と表記すると${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$次に層を定義します${\displaystyle K_{n,A}}$次の前層の層化として^{[ 5 ] 4ページ}$${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$この前層のセクションは、上のサイクルの同等のクラスであることに注意してください。${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$係数は${\displaystyle A}$等次元かつ有限な${\displaystyle U}$（これは定義から直接導かれる）${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$) が存在を示すことができる。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-動機的アイレンベルク・マクレーン層との弱い同値性${\displaystyle K(A,2n,n)}$（採点基準による）。

有限体の場合${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$、${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$位数 の巡回群である${\displaystyle q-1}$（同型であるため）${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$)、したがって次数付き可換性は$${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$したがって$${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$なぜなら${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$は有限群である。これは、位数がなければならないことを意味する。${\displaystyle \leq 2}$さらに詳しく見ていくと、${\displaystyle 1}$常に二次非剰余の和、すなわち要素として表現できる${\displaystyle a,b\in F}$そのため${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$等しくない${\displaystyle 0}$したがって${\displaystyle a+b=1}$表示中${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$スタインバーグ関係はミルナーK理論環のすべての関係を生成するので、${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$のために${\displaystyle n>2}$。

実数体の場合${\displaystyle \mathbb {R} }$ミルナーK理論群は容易に計算できる。${\displaystyle n}$グループの生成$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$どこ${\displaystyle (-1)^{n}}$順序のグループを与える${\displaystyle 2}$そして、${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$は割り切れる。によって生成される部分群${\displaystyle (-1)^{n}}$は、平方和として表現できるため、割り切れません。ミルナー K 理論環は、モチーフ ホモトピー理論の研究において重要です。なぜなら、モチーフスティーンロッド代数の一部の生成元を与えるからです。^{[ 6 ]}他のものは、古典的なスティーンロッド演算からモチーフ コホモロジーへのリフトです。

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$は不可算で一意に分割可能なグループである。^{[ 7 ]}また、${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$位数2の巡回群と不可算一意分解群の直和である。${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$乗法群の直和${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$そして、数えきれない、唯一無二の分割可能なグループ。${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$は位数2の巡回群と位数2の巡回群の直和である。${\displaystyle p-1}$すべての奇素数${\displaystyle p}$。 のために${\displaystyle n\geq 3}$、${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$完全な証明はミルナーの原著論文の付録に記載されている。^{[ 1 ]}計算の一部は、地図を見ることで確認できる。${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$グローバルフィールドの包含から誘発される${\displaystyle F}$その完成まで${\displaystyle F_{v}}$射が存在する$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$その核は有限生成である。さらに、余核は、${\displaystyle F}$。

さらに、一般的な局所場の場合${\displaystyle F}$（例えば有限拡張など）${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$）、ミルナーKグループ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$割り切れる。

計算には一般的な構造定理がある${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$分野について${\displaystyle F}$ミルナーK理論に関連して${\displaystyle F}$拡張機能${\displaystyle F[t]/(\pi )}$非ゼロ素数イデアルの場合${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$これは正確な数列によって与えられる。$${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$どこ${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$は、${\displaystyle F}$に${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$個別評価の場合${\displaystyle v}$これは、準同型写像がただ一つしか存在しないという定理から導かれる。$${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$ユニットのグループにとって${\displaystyle U\subset F}$要素には評価があります${\displaystyle 0}$自然な射を持つ$${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$どこ${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$我々は持っています$${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$どこ${\displaystyle \pi }$素因、つまり${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$、 そして$${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$すべての非ゼロ素イデアル${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$評価を与える${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$地図を入手します${\displaystyle \partial _{\pi }}$ミルナーK群について。