代数拡張

数学において、代数的拡大とは、大きい体Lのすべての元が小さい体K上の代数的であるような体拡大 L / Kである。つまり、Lのすべての元はKに係数を持つ非ゼロ多項式の根である。^{[1] [2]代数的ではない体拡大は}超越的であると言われ、超越元、つまり代数的ではない元を含まなければならない。 ^{[3] [4]}

有理数体の代数的拡大は代数体と呼ばれ、代数的数論の主要な研究対象です。一般的な代数的拡大のもう1つの例は、複素数による実数の拡大です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$

すべての超越的拡大は無限次である。これは、すべての有限拡大が代数的であることを意味する。^[5]しかし、その逆は真ではない。代数的である無限拡大が存在している。^[6] たとえば、すべての代数的数の体は、有理数の無限代数的拡大である。^[7]

E をK の拡大体とし、 a ∈ E とする。K と a を含む E の最小の部分体は一般に と表記される。a が K上で代数的である場合、K ( a )の元はKに係数を持つaの多項式として表すことができる。つまり、K ( a )はKとa を含む最小の環でもある。この場合、はKの有限拡大（有限次元Kベクトル空間）であり、そのすべての元はK上で代数的である。^{[8]これらの性質は、} aが代数的でない場合は成り立たない。たとえば、と はどちらも^{[9]上の無限次元ベクトル空間である。}${\displaystyle K(a).}$${\displaystyle K(a)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

代数的に閉じた体 Fには適切な代数拡大が存在しない。つまり、F < Eとなる代数拡大E は存在しない。^[10]一例として複素数体が挙げられる。すべての体には代数的に閉じた代数拡大（代数的閉包と呼ばれる）が存在するが、これを一般に証明するには選択公理の何らかの形が必要である。^[11]

拡大L / Kが代数的となるのは、 Lのすべての部分K代数が体である 場合のみです。

次の3つの性質が成り立つ：^[12]

1. E がFの代数的拡大であり、F がKの代数的拡大である場合、E はKの代数的拡大です。
2. EとF が共通オーバーフィールドCにおけるKの代数拡大である場合、合成体EF はKの代数拡大です。
3. E がFの代数的拡大であり、E > K > Fである場合、E はKの代数的拡大です。

これらの有限結果は超限帰納法を使って一般化できます。

この事実は、 Zorn の補題(適切に選択されたposetに適用)とともに、代数的閉包の存在を確立します。

モデル理論は代数的拡張の概念を任意の理論に一般化します。MのNへの埋め込みは、Nの任意のxに対してMにパラメータを持つ式pが存在し、p ( x ) が真であり、集合

${\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}$

は有限です。この定義を体の理論に適用すると、代数的拡大の通常の定義が得られることがわかります。M上のNのガロア群は、再び自己同型群として定義することができ、ガロア群の理論の大部分は一般的な場合に展開できることがわかります。

体kとk を含む体Kが与えられたとき、Kにおけるkの相対代数的閉包を、k上で代数的であるKのすべての元、つまりkに係数を持つ非ゼロ多項式の根である K のすべての元からなるKの部分体として定義します。

• 積分要素
• リューロートの定理
• ガロア拡大
• 分離可能な拡張機能
• 通常の拡張

• フレイリー、ジョン B. (2014)、抽象代数学入門、ピアソン、ISBN 978-1-292-02496-7
• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。グバレニ、ナデジダ・ミハイロヴナ。キリチェンコ、ウラジミール V. (2004)、代数、リングとモジュール、第 1 巻。 1、シュプリンガー、ISBN 1-4020-2690-0
• ラング、セルジュ(1993)、「V.1: 代数的拡張」、代数(第 3 版)、マサチューセッツ州レディング: アディソン ウェスレー、223 ページ以降、ISBN 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001
• マリク、DB; モルデソン、ジョン N.; セン、MK (1997)、抽象代数の基礎、マグロウヒル、ISBN 0-07-040035-0
• マッカーシー、ポール・J. (1991) [第2版の訂正版、1976年]、体の代数的拡大、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 0-486-66651-4、Zbl  0768.12001
• ローマン、スティーブン（1995）、場の理論、GTM 158、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 9780387944081
• ロットマン、ジョセフ・J.（2002）、Advanced Modern Algebra、Prentice Hall、ISBN 9780130878687