適切な地図

数学では、位相空間間の関数は、コンパクト部分集合の逆像がコンパクトであるとき、適切であると呼ばれます。^[1]代数幾何学では、類似の概念は適切な射と呼ばれます。

「適切な関数」の定義には、競合する定義がいくつかあります。のすべてのコンパクト集合の逆像が でコンパクトである場合、 2 つの位相空間間の関数が適切であると考える著者もいます。また、連続しており、コンパクト ファイバーで閉じている場合、つまり、連続した閉じた写像であり、 のすべての点の逆像がコンパクトである場合、 その写像が適切であると考える著者もいます。 が局所的にコンパクトで、がハウスドルフである場合、2 つの定義は同等です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

がハウスドルフで局所コンパクトハウスドルフの場合、適切な は普遍的に閉じていることと同値です。写像が普遍的に閉じているとは、任意の位相空間に対して写像が閉じている場合です。がハウスドルフの場合、これは任意の写像に対して引き戻しが閉じていることを要求することと同値です。これはが の閉じた部分空間であるという事実からわかります。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$${\displaystyle X\times _{Y}Z}$${\displaystyle X\times Z.}$

とが距離空間である場合の同等の、おそらくより直感的な定義は次のとおりです。位相空間内の点の無限列が無限に脱出するとは、任意のコンパクト集合に対して、その中に有限個の点のみが含まれる場合をいいます。すると、連続写像が適切であるとは、任意の点の列が無限に脱出するとは、その列が無限に脱出する場合をいいます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{p_{i}\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$${\displaystyle Y.}$

• コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像はすべて、適切かつ閉じている。
• すべての射影的固有写像はコンパクト被覆写像である。
  • 写像がコンパクト被覆と呼ばれるのは、任意のコンパクト部分集合に対して、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\subseteq Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle f(C)=K.}$
• 位相空間がコンパクトであるためには、その空間から単一の点への写像が適切である必要があります。
• が適切な連続写像であり、がコンパクトに生成されたハウスドルフ空間（これには第一可算または局所コンパクトであるハウスドルフ空間が含まれる）である場合、は閉じている。^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

位相空間の適切な写像の概念をロケールとトポイに一般化することは可能です。(Johnstone 2002) を参照してください。

• ほぼオープンなマップ - オープンなマップと同様の条件を満たすマップ。
• 開いたマップと閉じたマップ – 開いた（閉じた）サブセットを開いた（閉じた）サブセットに送信する関数
• 完全写像 – 連続した閉じた射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である
• トポロジー用語集