フロベニウス内準同型

可換代数と体論において、フロベニウス自己準同型（フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで命名）は、素数標数 $p$ の可換環の特別な自己準同型であり、有限体を含む重要なクラスである。^[¹^]^[²^]この自己準同型は、すべての要素を $p乗に写像する。特定の文脈では$ 自己同型であるが、一般にはそうではない。^[³^]^[⁴^]

意味

$R を$ 素数特性 $pを持つ$ 可換環とする（例えば、正特性の整域は常に素数特性を持つ）。フロベニウス自己準同型 $F$ は次のように定義される。

F(r)=r^{p}

$R$ のすべての $r$ に対して。R $の$ 乗法を尊重します。

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

また、 $F (1)も$ $1$ です。さらに、 $R$ の加算も考慮します。式 $(r + s) pは$ 二項定理を用いて展開できます。p $は$ 素数なので、 $p!は割り切れますが、$ $q$ $<$ $p$ の $q!$ は割り切れません。したがって、二項係数の明示的な式の分子は割り切れますが、分母は割り切れません。

{\frac {p!}{k!(pk)!}},

$1 \leq k \leq p - 1$ の場合。したがって、 $r p$ と $s p$ を除くすべての項の係数は $p$ で割り切れるため、それらはゼロになります。^{[ 5 ]}したがって

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

これは、Fが環準同型であることを示している。

$φ : R \to S$ $が特性p$ の環の準同型である場合、

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

$F R$ と $F S$ $がR$ と $S$ のフロベニウス自己準同型である場合、これは次のように書き換えることができます。

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi .

これは、フロベニウス自己準同型が、特性 $p環の$ 圏上の恒等関手からそれ自身への自然な変換であることを意味する。

環 $Rが$ 冪零元を持たない環である場合、フロベニウス自己準同型は単射である。F $($ $r$ $) = 0$ $は$ $r p = 0$ を意味し、これは定義により、 $r$ が位数が $p$ 以下の冪零元であることを意味する。実際、これは必要十分条件である。なぜなら、 $r$ が任意の冪零元であれば、その冪の 1 つが位数が $p$ 以下の冪零元となるからである。特に、 $R$ が体である場合、フロベニウス自己準同型は単射である。

フロベニウス射は、 $R が$ 体であっても必ずしも全射であるとは限りません。例えば、 $K$ $=$ $F$ $p$ $($ $t$ $)を$ $p$ 個の元と 1 つの超越元からなる有限体とします。言い換えれば、 $Kは$ $F$ $p$ の係数を持つ有理関数の体です。このとき、 $F$ の像には $t は$ 含まれません。もし含まれていたとすれば、 $p$ 乗 $q$ $($ $t$ $)$ $p$ $/$ $r$ $($ $t$ $)$ $p$ が $t$ に等しくなるような有理関数 $q$ $($ $t$ $)/$ $r$ $($ $t$ $)$ が存在することになります。しかし、この $p$ 乗の次数 (分子と分母の次数の差) は $p$ $deg($ $q$ $) -$ $p$ $deg($ $r$ $)であり、これは$ $p$ の倍数です。特に、 $t$ の次数である $1 に$ はなり得ません。これは矛盾です。したがって、 $t は$ $F$ の像に含まれません。

体 $K は、標数が 0 であるか、または標数が正であり、かつそのフロベニウス自己準同型が自己同型である場合に、$ 完全体と呼ばれる。例えば、すべての有限体は完全体である。

フロベニウス自己準同型の不動点

有限体 $F p$ を考えます。フェルマーの小定理により、 $F$ $p$ のすべての要素 $xは$ $x$ $p$ $=$ $x$ を満たします。言い換えれば、それは多項式 $X$ $p$ $-$ $X$ の根です。したがって、 $F$ $p$ の要素はこの方程式の $p$ 個の根を決定し、この方程式の次数が $pであるため、任意の$ 拡大体上で $p$ 個を超える根を持ちません。特に、 $Kが$ $F$ $p$ の代数的拡大体(代数的閉包や別の有限体など)である場合、 $F$ $p は$ $K$ のフロベニウス自己同型の固定体です。

$R を標数$ $p > 0$ の環とする。Rが整域である場合 $、$ 同様の推論により、フロベニウスの不動点は素体の元となる。しかし、 $R$ が整域でない場合、 $X p - X$ $はp 個$ 以上の根を持つ可能性がある。例えば、 $R = F p \times F p$ の場合にこれが起こる。

有限体においても同様の性質が認められる。 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ フロベニウス自己同型写像の $n$ 番目の反復により: すべての要素 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ は $X^{p^{n}}-X$ したがって、 $K が$ の代数的拡張である場合 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $F$ は $K$ のフロベニウス自己同型写像であり、 $F n$ の固定体は次のようになる。 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $R$ がドメインである場合、 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ -代数では、フロベニウスの $n$ 番目の反復の不動点は、 $\mathbf {F} _{p^{n}}$ 。

$フロベニウス写像を反復すると、 R$ の要素のシーケンスが得られます。

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

この反復のシーケンスは、イデアルのフロベニウス閉包とタイト閉包を定義する際に使用されます。

ガロア群の生成子として

有限体の拡大体のガロア群は、フロベニウス自己同型写像の反復によって生成されます。まず、基礎体が素体 $F p$ である場合を考えます。F $q を$ $q$ $個$ の要素を持つ有限体とします。ここで $q = p n$ $です。F q$ のフロベニウス自己同型写像 $ F$ $は$ 素体 $F$ $p$ $を固定するため、ガロア群Gal($ $F$ $q$ $/$ $F$ $p$ $)$ の要素となります。実際、 $\displaystyle \mathbf {F} _{q}^{\times }}$ は $q$ $- 1$ 個の要素を持つ巡回群であり、ガロア群は巡回群であり、 $F$ は生成元であることがわかります $。F$ の位数は $n$ です。なぜなら、 $F j は$ 要素 $xに作用して、それを$ $x p j$ に送るからです。 $x^{p^{j}}=x$ のみ $p^{j}$ 体なので、多くの根があります。F q のすべての自己同型は $F$ $の$ べき乗であり、生成元は $iが$ $n$ と互いに素であるような $F i の$ $べき乗$ です。

ここで、有限体 $F q f を$ $F q$ の拡大体として考えます。ただし、 $q$ $= p n は$ $上記のとおりです。n > 1の場合、$ $F$ $q$ $f$ のフロベニウス自己同型 $F$ は基礎体 $F$ $q$ を固定しませんが、その $n$ 番目の反復 $F$ $n$ は固定します。ガロア群 $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ は位数 $fの巡回群であり、$ $F$ $n$ によって生成されます。これは、 $F$ $n$ によって生成される $Gal($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $p$ $)$ の部分群です。Gal $($ $F$ $q$ $f$ $/$ $F$ $q$ $)$ の生成元は、 $iが$ $f$ と互いに素であるようなべき乗F $ni$ $です$ 。

フロベニウス自己同型は絶対ガロア群の生成元ではない

\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

このガロア群はプロ有限整数と同型であるため

{\widehat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ,

$これらは巡回的ではない。しかし、フロベニウス自己同型はF q$ の任意の有限拡大のガロア群の生成元であるため、絶対ガロア群の任意の有限商群の生成元となる。したがって、絶対ガロア群上の通常のクルル位相における位相的生成元となる。

フロベニウスの計画

スキームに対するフロベニウス射を定義する方法はいくつかあります。最も基本的なのは絶対フロベニウス射です。しかし、絶対フロベニウス射は基底スキームを考慮しないため、相対的な状況ではうまく機能しません。フロベニウス射を相対的な状況に適合させる方法はいくつかあり、それぞれ特定の状況で役立ちます。

絶対フロベニウス射

$X を標数$ $p > 0$ のスキームとする。Xの開アフィン部分集合 $U = Spec A$ を選択する。環 $Aは$ $F$ $p$ 代数であるため、フロベニウス自己準同型を持つ。V $が$ $U$ の開アフィン部分集合である場合、フロベニウスの自然性により、 $U上$ $の$ フロベニウス射を $V$ に制限すると、 $V$ 上のフロベニウス射となる。したがって、フロベニウス射を貼り合わせると、 $X$ の自己準同型が得られる。この自己準同型は、 $X$ の絶対フロベニウス射と呼ばれ、 $F$ $X$ $と表記される。定義により、これはX$ とそれ自身との同相写像である。絶対フロベニウス射は、 $F$ $p$ スキームの圏の恒等関手からそれ自身への自然な変換である。

$Xが$ $S$ スキームであり、 $S$ のフロベニウス射が恒等射である場合、絶対フロベニウス射は $S$ スキームの射である。しかし一般にはそうではない。例えば、環を考えてみよう。 $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ $X$ と $Sは$ 両方とも $Spec A$ に等しく、構造写像 $X \to S$ $は恒等写像とする。A上のフロベニウス射はaをp$ $に$ 写す $。$ $これ$ は射ではない。 $\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ -代数。もしそうであれば、要素 $b$ を乗算すると $\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ フロベニウスの自己準同型を適用することと可換になる。しかし、これは正しくない。理由は以下のとおりである。

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

$前者は、 b$ の作用である。 $\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ $A$ が持つ代数構造であり、後者は $\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ $フロベニウスによって誘導される。したがって、 Spec A$ 上のフロベニウス射は、 $\displaystyle \mathbf {F} _{p^{2}}}$ -計画。

絶対フロベニウス射は次数 $p$ の純粋に分離不可能な射です。その微分はゼロです。積を保存するので、任意の 2 つのスキーム $X$ と $Y$ に対して、 $F X \times Y = F X \times F Y$ が成り立ちます。

フロベニウスによるスカラーの制限と拡張

$S$ スキーム $X$ の構造射を $φ : X \to S$ とします。基底スキーム $S$ はフロベニウス射 $F$ $S$ を持ちます。φと $F$ $Sを合成すると$ $、$ フロベニウスによるスカラーの制限と呼ばれる $S$ スキームX _Fが得られます。スカラーの制限は実際にはファンクターです。なぜなら、 $S$ 射 $X$ $\to$ $Y は$ $S$ 射 $X$ $F$ $\to$ $Y$ $F$ を誘導するからです。

例えば、標数 $p$ $> 0$ の環 $Aと、$ $A$ 上の有限表示代数を考えてみましょう。

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

$Aが$ $R$ に及ぼす作用は次のように表される。

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

ここでαは多重インデックスです。X $= Spec$ $R$ とします。すると $X$ $F$ $は$ アフィンスキーム $Spec R$ ですが、その構造射 $Spec R \to Spec A$ 、したがって $Aの$ $R$ への作用は異なります。

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

フロベニウスによるスカラーの制限は単なる合成であるため、フロベニウス射に関する適切な仮定の下では、 $Xの多くの性質が$ $X F$ に継承されます。たとえば、 $X$ とS _{F が}両方とも有限型であれば、 $X F$ も有限型になります。

フロベニウスによるスカラーの拡張は次のように定義される。

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

$S$ 因子への射影により、 $X (p)$ $はS$ スキームとなる。文脈から $Sが明確でない場合は、$ $X (p)$ $はX (p / S)$ と表記される。スカラーの制限と同様に、スカラーの拡張は関手である。S $準$ 同型 $X \to Y$ $は、 S$ 準同型 $X (p) \to Y (p)$ を決定する。

これまでと同様に、環 $Aと$ $A$ 上の有限表示代数 $R$ を考え、再び $X$ $= Spec$ $R$ とする。すると、次のようになる。

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

$X (p)$ のグローバルセクションは次の形式です。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

ここで、 $α$ は多重インデックスであり、すべての $a iα$ および $b i$ はAの要素である。Aの要素cがこのセクションに及ぼす作用は次のとおりである。

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

したがって、 $X (p)$ は以下と同型である。

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

ここで、もし：

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

それから：

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

同様の記述は任意の $A$ 代数 $R$ にも当てはまります。

スカラーの拡張は基底変換であるため、極限と余積を保存します。これは特に、 $X が$ 有限極限によって定義される代数構造（例えば群スキームであるなど）を持つ場合、 $X (p)$ も同様であることを意味します。さらに、基底変換であるということは、スカラーの拡張が有限型、有限表示、分離、アフィンなどの性質を保存することを意味します。

スカラーの拡張は基底変換に関して良好な性質を持つ。射 $S' \to S$ が与えられた場合、自然な同型が存在する。

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

相対フロベニウス

$X を$ $構造$ 射 $φを持つ$ $S$ スキームとする。Xの相対フロベニウス射は次の射である。

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

プルバック $X$ $($ $p$ $)$ の普遍的性質によって定義される（上の図を参照）：

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

絶対フロベニウス射は自然であるため、相対フロベニウス射は $S$ スキームの射である。

例えば、 $A$ 代数を考えてみましょう。

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

我々は持っています：

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

相対フロベニウス準同型は、次のように定義される準同型 $R (p) \to R$ である。

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

$相対フロベニウスは、 X (p / S) \times S S'$ および $(X \times S S') (p / S')$ の自然な同型性の下で、次のようになるという意味で、基底変換と互換性がある。

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

$相対$ フロベニウスは普遍同相写像です。X $\to$ $S$ が開埋め込みである場合、それは恒等写像です。X $\to$ $S$ $が$ $O$ $S$ のイデアル層Iによって決定される閉埋め込みである場合、 $X$ $($ $p$ $)$ $はイデアル層I$ $p$ によって決定され、相対フロベニウスは拡張写像 $O$ $S$ $/$ $I$ $p$ $\to$ $O$ $S$ $/$ $I$ です。

$X$ $がS$ 上で非分岐であるのは、 $F X / S$ が非分岐であり、かつ $F X / S$ が単射である場合に限る。X $が$ $S$ 上でエタールであるのは、 $F X / S$ がエタールであり、かつ $F X / S$ が同型である場合に限る。

フロベニウス算術

$S$ スキーム $X$ の算術的フロベニウス射は、次の射である。

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

定義:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

つまり、これは $F S$ $の1 X$ による基本変化です。

繰り返しますが、もし：

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

すると、フロベニウスの算術は準同型写像となる。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

$R (p)を$ 次のように書き換えると：

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

すると、この準同型写像は次のようになります。

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

幾何学的フロベニウス

$S$ の絶対フロベニウス射が逆写像で可逆であると仮定する $F_{S}^{-1}$ 。させて $S_{F^{-1}}$ $S$ スキームを表す $F_{S}^{-1}:S\to S$ $すると、 X$ のスカラーの拡張は次のようになる。 $F_{S}^{-1}$ :

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

もし：

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

次にスカラーを拡張して $F_{S}^{-1}$ 与える：

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

もし：

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

そして、次のように書きます。

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

そして、同型写像が存在する。

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

$S$ スキーム $X$ の幾何学的フロベニウス射は、次の射である。

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

定義:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

これは基本変化です $F_{S}^{-1}$ $1 X$ によって。

$上記のA$ と $R$ の例を続けると、幾何学的フロベニウスは次のように定義されます。

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

$R (1/ p)$ を次のように書き換えた後 $\{f_{j}^{(1/p)}\}$ 幾何学的フロベニウスとは：

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

ガロア作用としてのフロベニウスの算術と幾何学

$S$ のフロベニウス射が同型であると仮定します。すると、それは $S$ の自己同型群の部分群を生成します。S $= Spec$ $k$ $が$ 有限体のスペクトルである場合、その自己同型群は素体上の体のガロア群であり、フロベニウス射とその逆はどちらも自己同型群の生成元です。さらに、 $X (p)$ と $X (1/ p)$ $はX$ と同一視できます。すると、算術的および幾何学的フロベニウス射は $Xの自己同型となり、したがって、それらは$ $kのガロア群の$ $X$ への作用につながります。

$K$ 点の集合 $X (K)$ を考えます。この集合にはガロア作用が伴います。各点 $x$ は、構造層から $K$ への準同型 $O X \to K$ に対応し、これは $x$ における剰余体 $k$ $($ $x$ $)を介して因数分解されます$ $。x$ に対するフロベニウス作用は、剰余体へのフロベニウス射の適用です。このガロア作用は、算術フロベニウス作用と一致します。合成射

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

は合成射と同じである。

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

フロベニウス算術の定義により、フロベニウス算術はガロア群の点への作用を $X$ の自己準同型として明示的に示す。

フロベニウスのローカルフィールド

局所体の非分岐有限拡大 $L / K$ が与えられた場合、対応する剰余体の拡大にフロベニウス自己準同型を誘導するフロベニウス自己準同型の概念が存在する。^[⁶^]

$L / K を$ 局所体の非分岐拡大とし、 $K$ の整数環O _Kが存在し、剰余体、すなわち $K$ の整数をその唯一の最大イデアル $φで割った余りが位数$ $q$ の有限体であると仮定する。ここで $q は$ 素数のべき乗である。Φ $が$ $φ$ 上に存在する $L$ の素数である場合、 $L$ $/$ $K が$ 非分岐であるということは、定義により、 $L$ の整数を $Φ で$ 割った余りが、 $K$ の剰余体を拡張する位数 $q$ $f$ の有限体となることを意味する。ここで $fは$ $L$ $/$ $K$ の次数である。Lの整数環 $O$ $L$ $の要素に対するフロベニウス写像を、L$ $の$ 自己同型s Φ として $定義$ $する$ ことができる $。$

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }}.

フロベニウスのグローバルフィールド

代数的整数論において、フロベニウス元は $、$ $L$ の素イデアル $Φ$ の有限ガロア拡大である大域体の拡大 $L / K$ に対して定義される。拡大は分岐しないので、 $Φ$ $の$ 分解群は剰余体の拡大のガロア群となる。フロベニウス元は $、$ 局所的な場合と同様に、 $L$ の整数環の元に対して次のように定義できる。

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}{\pmod {\Phi }},

ここで、 $q$ は剰余体 $O K /(Φ \cap O K)$ の位数である。

フロベニウスのリフトはp-微分に対応している。

例

多項式

x 5 - x - 1

判別力がある

19 \times 151

、

したがって、素数 3 において分岐がなく、また mod 3 で既約です。そのため、その根 $ρを$ $3$ 進数体 $Q 3に付加すると、$ $Q$ $3$ の分岐のない拡張 $Q 3 (ρ)$ が得られます。ρ のフロベニウス写像による像は、ρ 3 に最も近い根を見つけることで得られ $、$ $これ$ $は$ ニュートン法によって行うことができます。このようにして、整数環 $Z$ $3$ $[$ $ρ$ $]$ の要素が得られます。これは、 $3$ 進整数 $Z$ $3$ を係数とする $ρ$ に関する 4 次多項式です。mod $3$ $8$ この多項式は

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

。

$これはQ$ 上の代数であり、 $Qから$ $Q 3$ への埋め込みに関して正しいグローバルなフロベニウス像です。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表現できます。ただし、係数の次数は 120 であり、これはガロア群の位数と同じです。これは、 $p$ 進数の結果で十分な場合、明示的な計算がはるかに容易に行えることを示しています。

$L / K が$ 大域体のアーベル拡大である場合、基底体 $K$ の素数 $φ$ のみに依存するため、より強い合同関係が得られます。例として、次の条件を満たす根 $β を$ 隣接させることによって得られる $Q$ の拡大 $Q$ $($ $β$ $)を考えます。$

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

$Q$ へ。この拡張は位数 5 の巡回行列であり、根は

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

整数 $n$ に対して。βのチェビシェフ多項式である根を $持つ$ 。

β 2 - 2、 β 3 - 3 β 、 β 5 - 5 β 3 + 5 β

素数 2、3、5 に対するフロベニウス写像の結果を示し $、$ 11 $と$ $等しく$ ない、または 22 n + 1 の形 (分割される) ではないより大きな素数についても $同様$ $に$ $示し$ $ます$ 。フロベニウス写像がどのようにして、法 $p$ で根 $βの$ $p$ 乗に等しい結果を与えるかはすぐにわかります。

参考文献

↑ Lang. Algebra . pp. 180, 246.
↑ハートショーン著『代数幾何学』21ページ。
↑アーティン。代数第 2 版。 pp.3.8、355ページ、M5、511ページ。
↑ Weil (1995).基本数論.系2: pp 18、定義5: pp 20。
↑これは新入生の夢として知られています。
↑ Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991).代数的整数論. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27. Cambridge University Press . p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

「フロベニウス自己同型」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
「フロベニウスの自己準同型」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

[1] Lang. Algebra . pp. 180, 246.

[2] ハートショーン著『代数幾何学』21ページ。

[3] アーティン。代数第 2 版。 pp.3.8、355ページ、M5、511ページ。

[4] Weil (1995).基本数論.系2: pp 18、定義5: pp 20。

[5] これは新入生の夢として知られています。

[FT144-6] Fröhlich, A. ; Taylor, MJ (1991).代数的整数論. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 27. Cambridge University Press . p. 144. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 .

[

[

[

[

[ 5 ]

[