超濾過器

順序理論の数学分野では、与えられた半順序集合（または「poset」）上の超フィルター${\textstyle P}$は、${\displaystyle P,}$すなわち最大フィルタ​${\displaystyle P;}$つまり、適切なフィルター${\textstyle P}$より大きな適切なフィルターに拡大することはできません${\displaystyle P.}$

もし${\displaystyle X}$は任意の集合であり、その冪集合である。${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$集合包含によって順序付けられ、常にブール代数であり、したがって半順序集合であり、超フィルターは$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$撮影現場では通常ウルトラフィルターと呼ばれている。${\displaystyle X}$[^{注1 ]}セットのウルトラ^{フィルター}${\displaystyle X}$は、有限加法的な0-1値尺度とみなすことができる。$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$この見方では、${\displaystyle X}$は、与えられた超フィルターに属するかどうかに応じて、「ほぼすべて」（尺度1）または「ほぼ何もない」（尺度0）とみなされる。^{[ 1 ]： §4}

超フィルターは、集合論、モデル理論、位相幾何学^{[ 2 ] : 186}、および組み合わせ論^{[ 3 ]において多くの応用例がある。}

順序理論において、超フィルタとは、半順序集合の部分集合であり、すべての適切なフィルタの中で最大となるものである。これは、超フィルタを適切に含むフィルタは、半順序集合全体と等しくなければならないことを意味する。

正式には、${\textstyle P}$は、部分的に順序付けられた集合です。${\displaystyle \,\leq \,}$それから

• 部分集合${\displaystyle F\subseteq P}$はフィルターと呼ばれます${\textstyle P}$もし
  • ${\displaystyle F}$空でない、
  • すべての${\displaystyle x,y\in F,}$何らかの要素が存在する${\displaystyle z\in F}$そのため${\displaystyle z\leq x}$そして${\displaystyle z\leq y,}$そして
  • すべての${\displaystyle x\in F}$そして${\displaystyle y\in P,}$${\displaystyle x\leq y}$意味するところは${\displaystyle y}$は${\displaystyle F}$あまりにも;
• 真部分集合${\displaystyle U}$の${\textstyle P}$は超濾過器と呼ばれます${\textstyle P}$もし
  • ${\displaystyle U}$フィルターは${\displaystyle P,}$そして
  • 適切なフィルターがありません${\displaystyle F}$の上${\textstyle P}$適切に拡張する${\displaystyle U}$（つまり、${\displaystyle U}$は、の真部分集合である。${\displaystyle F}$)

この概念の重要な特殊ケースは、考慮対象の半順序集合がブール代数である場合に発生します。この場合、超フィルターは、各要素に対してを含むことで特徴付けられます。${\displaystyle x}$ブール代数の要素のうち、ちょうど１つ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle \lnot x}$（後者はブール補数である）${\displaystyle x}$):

もし${\textstyle P}$これはブール代数であり、${\displaystyle F}$適切なフィルターは${\displaystyle P,}$すると、以下の記述は同等になります。

1. ${\displaystyle F}$超フィルターは${\displaystyle P,}$
2. ${\displaystyle F}$プライムフィルターは${\displaystyle P,}$^{[注4 ]}
3. 各${\displaystyle x\in P,}$どちらか${\displaystyle x\in F}$または （${\displaystyle \lnot x}$）${\displaystyle \in F.}$^{[ 2 ]： 186}

さらに、ブール代数上の超フィルターは、最大イデアルおよび2要素ブール代数{true, false}への準同型写像（ 2値射とも呼ばれる）と次のように関連付けることができます。

• ブール代数から{true, false}への準同型写像が与えられたとき、「true」の逆像は超フィルターであり、「false」の逆像は極大イデアルである。
• ブール代数の極大イデアルが与えられた場合、その補集合は超フィルターであり、極大イデアルを「偽」に写像する{true, false}への唯一の準同型が存在する。
• ブール代数上の超フィルターが与えられた場合、その補集合は極大イデアルであり、超フィルターを「true」に写像する{true, false}への唯一の準同型が存在する。

任意の集合が与えられた${\displaystyle X,}$そのパワーセット${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$集合包含関係によって順序付けられたものは、常にブール代数です。したがって、上記のセクションの結果が適用されます。$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$はしばしば単に「（ウルトラ）フィルター」と呼ばれます${\displaystyle X}$「. ^{[注1 ]}任意の集合が与えられた場合${\displaystyle X,}$超フィルター$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$セット${\displaystyle {\mathcal {U}}}$サブセットで構成される${\displaystyle X}$すなわち、

1. 空集合は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$。
2. もし${\displaystyle A}$は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ならばすべてのスーパーセットも同様である${\displaystyle B\supset A}$。
3. もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$要素${\displaystyle {\mathcal {U}}}$交差点も同様です${\displaystyle A\cap B}$。
4. もし${\displaystyle A}$は、${\displaystyle X,}$すると、^{［注5 ］}${\displaystyle A}$またはその補数${\displaystyle X\setminus A}$は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$。

同様に、家族${\displaystyle {\mathcal {U}}}$サブセットの${\displaystyle X}$は、任意の有限集合に対して、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$サブセットの${\displaystyle X}$いくつかあります${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {F}}=F_{x}\cap {\mathcal {F}}}$どこ${\displaystyle F_{x}=\{Y\subseteq X:x\in Y\}}$は、${\displaystyle x}$言い換えれば、超フィルターは、局所的に主超フィルターに類似する集合の族と見なすことができる。

与えられたものの同等の形式${\displaystyle {\mathcal {U}}}$は2 値射であり、関数である${\displaystyle m}$の上$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$定義される${\displaystyle m(A)=1}$もし${\displaystyle A}$は${\displaystyle {\mathcal {U}}}$そして${\displaystyle m(A)=0}$そうでなければ。${\displaystyle m}$は有限加法性を持つため、${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$そして、${\displaystyle X}$ほぼどこでも真であるか、ほぼどこでも偽であるかのどちらかです。しかし、${\displaystyle m}$は通常、可算加法ではないため、通常の意味での尺度を定義しません。

フィルターの場合$\displaystyle {\mathcal {F}}}$それは超濾過器ではない、と定義できる${\displaystyle m(A)=1}$もし${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle m(A)=0}$もし${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}},}$出発${\displaystyle m}$他の場所では定義されていない。^{[ 1 ]}

冪集合上の超フィルターは、位相幾何学、特にコンパクトハウスドルフ空間との関連において、またモデル理論における超積や超冪の構成において有用である。コンパクトハウスドルフ空間上のすべての超フィルターは、ちょうど一点に収束する。同様に、ブール代数上の超フィルターは、ストーンの表現定理において中心的な役割を果たす。集合論では、超フィルターは、構成可能性の公理が可測基数κの存在と両立しないことを示すために用いられる。これは、 κ完全非主超フィルターを法とする集合論的宇宙の超冪を取ることによって証明される。 ^{[ 6 ]}

セット${\displaystyle G}$半順序集合のすべての超フィルター${\textstyle P}$自然な方法で位相化することができ、それは実際には上述の表現定理と密接に関連している。任意の要素について${\displaystyle x}$の${\textstyle P}$、 させて${\displaystyle D_{x}=\left\{U\in G:x\in U\right\}.}$これは、次のような場合に最も役立ちます。${\textstyle P}$これは再びブール代数であり、この状況ではすべての集合が${\displaystyle D_{x}}$は、コンパクトハウスドルフ位相の基底である。${\displaystyle G}$特に、パワーセットのウルトラフィルターを考慮すると、$\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$結果として得られる位相空間は、濃度が の離散空間のストーン・チェフコンパクト化である。${\displaystyle |S|.}$

モデル理論における超積構成は、超フィルターを使用して、一連の${\displaystyle X}$-インデックス付きモデル。例えば、コンパクト性定理はこの方法で証明できます。超冪の特殊な場合、構造の基本的な拡張が得られます。例えば、非標準解析では、超実数は実数の超積として構成でき、議論領域を実数から実数列に拡張します。この列空間は、各実数を対応する定数列と同一視することで、実数のスーパーセットとみなされます。実数から超実数へ馴染みのある関数と関係（例えば、+と<）を拡張するには、それらを点ごとに定義するのが自然なアイデアです。しかし、これは実数の重要な論理的性質を失わせます。例えば、点ごとの<は全順序ではありません。そのため、代わりに関数と関係は「点ごとの法」で定義されます。${\displaystyle U}$、 どこ${\displaystyle U}$は数列のインデックス集合上の超フィルターです。Łośの定理により、これは一階述語論理で表現できる実数のすべての性質を保持します。${\displaystyle U}$が非主項である場合、それによって得られる拡張は非自明である。

幾何学的群論では、非主超フィルターを用いて群の漸近錐を定義します。この構成により、群を無限遠から、すなわち群の大規模な幾何学的構造を厳密に考察する方法が得られます。漸近錐は、距離空間の超極限の具体的な例です。

ゲーデルによる神の存在論的証明は、すべての「肯定的性質」の集合が超フィルターであることを公理として用いている。

社会選択理論では、非主観的超フィルターを使用して、無限に多くの個人の選好を集約するためのルール（社会厚生関数と呼ばれる）を定義します。有限に多くの個人に対するアローの不可能性定理とは異なり、このようなルールはアローが提案する条件（特性）を満たします。^{[ 7 ]}しかし、このようなルールはアルゴリズム的でも計算可能でもないため、社会科学者にとって実際にはあまり関心がありません。^{[ 8 ] [ 9 ]}

• フィルター（数学）– 半順序集合の特別な部分集合 
• セットに対するフィルタリング– 「大きな」セットを表す部分集合のファミリー 
• トポロジーにおけるフィルター– フィルターを用いてすべての基本的なトポロジー概念と結果を記述および特徴付ける 
• 超フィルタ補題– 最大固有フィルタ リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ユニバーサルネット– 一連の点の一般化リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 

• アルハンゲルスキー、アレクサンドル・ウラジミロヴィチ；ポノマレフ、VI（1984）。一般位相の基礎：問題と演習。数学とその応用。第 13巻。ドルトレヒト、ボストン：D.ライデル。ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489 . 
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。土井: 10.1007/978-3-642-61701-0。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• ディクスミエ、ジャック（1984）。一般位相幾何学。数学学部教科書。ベルベリアン、SK訳。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90972-1OCLC 10277303​​ 
• ドレツキ、シモン；マイナール、フレデリック（2016）。トポロジーの収束基礎。ニュージャージー：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング・カンパニー。ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 . 
• デュグンジ、ジェームズ（ 1966）。トポロジー。ボストン：アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• チャザール、アコス(1978)。一般的なトポロジ。翻訳はチャザール、クララ。ブリストル イングランド: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011 . 
• Jech, Thomas (2006).集合論：第三千年紀版、改訂増補版. ベルリン・ニューヨーク：Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7OCLC 50422939​​ 
• Joshi, KD (1983).一般位相幾何学入門. ニューヨーク: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7OCLC 9218750​​ 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• シューベルト、ホルスト（1968）。トポロジー。ロンドン：マクドナルド社。ISBN 978-0-356-02077-8OCLC 463753。​ 

• Comfort, WW (1977). "Ultrafilters: some old and some new results" .Bulletin of the American Mathematical Society . 83 (4): 417–455 . doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN 0002-9904 . MR 0454893 .  
• Comfort, WW; Negrepontis, S. (1974), The theory of ultrafilters , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0396267 
• n Labの超濾過器
• YouTubeの「数理論理学15、超フィルター定理」