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数学、特に体論と実代数学において、形式的に実な体とは、（必ずしも一意ではない）順序付けを備え、順序付き体となる体である。
代替定義
上記の定義は、集合上の量指定子を必要とするため、一階の定義ではありません。ただし、次の基準は、体の言語で（無限に多い）一階の文としてコード化でき、上記の定義と同等です。
形式的に実数体Fとは、以下の同値な性質のうち1つを満たす体である: [1] [2]
- −1 はFの平方和ではありません。言い換えれば、FのStufeは無限です。(特に、特性pの体では元 −1 は 1 の和であるため、このような体は特性0 を持たなければなりません。) これは、変数の数ごとに 1 つの文を使用して、 、 などで第 1 階述語論理で表現できます。
- F の二乗和ではないFの元が存在し、Fの標数は2 ではありません。
- Fの任意の要素の二乗の合計がゼロである場合、それらの各要素はゼロでなければなりません。
これら 3 つの特性が同等であることは容易にわかります。また、順序付けを許容するフィールドは、これら 3 つの特性を満たす必要があることも容易にわかります。
F がこれら 3 つの特性を満たす場合、F は順序を許容するという証明には、前置錐と正錐の概念が使用されます。 −1 が平方和ではないと仮定すると、ゾルンの補題の議論により、平方和の前置錐は正錐P ⊆ Fに拡張できることが示されます。この正錐を使用して、順序を定義します。つまり、 b − a がPに属する場合のみ、a ≤ bです。
実閉体
形式的に実な適切な代数的拡大を持たない形式的に実な体は、実閉体である。[3] Kが形式的に実であり、 Ω がK を含む代数的に閉体である 場合、 Kを含む Ω の実閉部分体が存在する。実閉体は一意に順序付けることができ、[3]非負の元はまさに平方である。
注記
- ^ Rajwade、定理15.1。
- ^ ミルナーとヒューセモラー (1973) p.60
- ^ アブ ・ラジワデ（1993）p.216
参考文献
- ミルナー、ジョン、ヒュースモラー、デール(1973)。対称双線型形式。シュプリンガー。ISBN 3-540-06009-X。
- Rajwade, AR (1993)。Squares 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第171巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42668-5.ZBL0785.11022 。