離散評価リング

抽象代数学において、離散評価環( DVR ) は、ゼロ以外の最大イデアルを 1 つだけ持つ主イデアル領域(PID) です。

これは、DVR が次の同等の条件のいずれかを満たす整数領域 Rであることを意味します。

1. Rは局所 主イデアル領域であり、体ではありません。
2. R は、加法に関して整数と同型な値群を持つ付値環です。
3. Rは局所 デデキント領域であり、体ではありません。
4. Rは最大イデアルが主イデアルであるネーター 局所 領域であり、体ではない。^[1]
5. R は、クルル次元が 1 である整閉 ノイザン 局所環です。
6. R は、唯一の非ゼロの素イデアルを持つ主イデアル領域です。
7. R は、一意の既約元(単位の乗算まで)を持つ主イデアル領域です。
8. R は、一意の因数分解領域であり、一意の既約元（単位による乗算まで）を持ちます。
9. Rはネーター体であり、体ではありません。また、Rのすべての非ゼロ分数イデアルは、それを適切に含む分数イデアルの有限集合として記述できないという意味で既約です。
10. Rの分数体K上には、 R = {0} { x K  : ν( x ) ≥ 0}となる離散値νが存在する。 ${\displaystyle \cup}$ ${\displaystyle \in}$

とします。すると、 の分数体はです。の任意の非ゼロ元に対して、rの分子と分母に一意の因数分解を適用して、 r を⁠と表すことができます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ は奇数}}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$2kz^​ ​/ん⁠ここで、z、n、kは整数で、zとnは奇数です。この場合、ν( r )= kと定義します。すると、ν に対応する離散値環になります。の最大イデアルは、2 によって生成される主イデアル、つまり であり、(単位まで)「一意の」既約元は 2 です (これは均一化パラメータとも呼ばれます)。 は、 2 によって生成される素イデアルにおけるデデキント領域の局所化であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

より一般的には、デデキント域の非零素イデアルへの局所化は離散値環である。実際には、離散値環はこのようにして生じることが多い。特に、環を定義できる。

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$

任意の素数 pに対して完全に類似しています。

p進整数の環は、任意の 素数に対して DVR です。ここには既約元があります。評価により、を割り切れる最大の整数が各- 進整数に割り当てられます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle x}$

DVR のもう 1 つの重要な例は、ある体 上の1 変数の形式的冪級数の環 です。「一意の」既約元は であり、 の最大イデアルはによって生成される主イデアルであり、評価は各冪級数に最初の非ゼロ係数のインデックス (つまり次数) を割り当てます。 ${\displaystyle R=k[[T]]}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \nu }$

実数または複素数の係数に限定すると、0 の近傍に収束する1 変数のべき級数の環を考えることができます(近傍はべき級数によって異なります)。これは離散評価環です。これは、適切性の評価基準に関する直感を構築するのに役立ちます。

より幾何学的な例として、変数 X の有理関数体R ( X )の部分環として考えられる環R = { f / g  : f、g はR [ X ]の多項式、 g (0) ≠ 0 } を取ります。R は、実軸上の0の近傍(近傍は関数によって異なります) で定義される (つまり有限である) すべての実数値有理関数の環と同一視できます。 これは離散評価環です。つまり、「一意の」既約元はXであり、評価によって各関数fに 0 でのfの零点の位数 (おそらく 0)が割り当てられます。 この例は、非特異点の近くの一般的な代数曲線を調べるためのテンプレートを提供します。この場合の代数曲線は実数直線です。

DVRでは、分数体 を、剰余体 を と表記するのが一般的です。これらは の一般点と閉点に対応します。たとえば、 の閉点はで、一般点は です。これは と表記されることもあります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

ここで は一般点であり、 は閉じた点です。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle s}$

代数曲線 が与えられたとき、滑らかな点 における局所環は主付値環であるため、離散付値環になります。点 は滑らかなので、局所環の完備化は、ある点 における の局所化の完備化と同型であることに注意してください。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

DVR Rが与えられた場合、 Rの任意の既約元はRの唯一の最大イデアルの生成元であり、逆もまた同様です。このような元はRの均一化パラメータ（または均一化元、均一化元、または素元） とも呼ばれます。

均一化パラメータt を固定すると、M =( t ) はRの唯一の最大イデアルとなり、他のすべての非ゼロイデアルはMのべき乗、すなわち、あるk ≥0 に対して ( t ^k ) の形をとります。 tのべき乗はすべて異なり、 Mのべき乗も異なります。 Rの非ゼロ元x はすべて α t ^kの形で表すことができます。ここで α はRの単位であり、k ≥0 であり、どちらもxによって一意に決まります。評価値はν ( x ) = kv ( t ) で与えられます。したがって、環を完全に理解するには、 Rの単位のグループと、単位がtのべき乗とどのように加算的に相互作用するかを知る必要があります。   

関数v は任意の離散評価環をユークリッド領域に変換します。^[要出典]

すべての離散評価環は局所環であるため、自然な位相を持ち、位相環です。また、2 つの要素xとy の間の距離を次のように測定できる 距離空間構造を与えることもできます。

${\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}$

（または、2 の代わりに 1 より大きい他の固定された実数）。直感的に言えば、元zが「小さく」かつ「0 に近い」のは、その付値ν( z ) が大きい場合のみです。関数 |xy| は、|0|=0 によって補足され、離散付値環の分数の体で定義された絶対値の制限です。

DVR がコンパクトであるためには、それが完全であり、その剰余体 R / Mが有限体である必要があります。

完全なDVR の例としては、

• p進整数の環と
• 任意の体上の形式的冪級数の環

与えられた DVR に対して、多くの場合、その完備化、つまり与えられた環を含む完全なDVR へと進むことになります。この完備化の手順は、幾何学的には、有理関数からべき級数へ、または有理数から実数へ進むこととして考えることができます。

例に戻ると、実係数を持つ 1 変数のすべての形式的冪級数の環は、実数直線上の 0 の近傍で定義される (つまり有限である) 有理関数の環の完備化です。また、0 の近くで収束するすべての実冪級数の環の完備化でもあります。 ( p進整数であるすべての有理数の集合として見ることができる) の完備化は、すべてのp進整数Z _pの環です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$

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• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、ウェストビュー・プレス、ISBN 978-0-201-40751-8
• ダミット、デビッド・S.; フット、リチャード・M. (2004)、抽象代数（第3版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-43334-7、MR  2286236
• 離散評価環、数学百科事典。