フィールド拡張の度合い

数学、より具体的には、体理論において、体の拡大の次数は、体の拡大の「大きさ」の大まかな尺度です。この概念は、代数や数論を含む数学の多くの部分、つまり体が大きく登場するあらゆる分野で重要な役割を果たします。

E / F が体拡大であると仮定します。すると、E はF (スカラー体)上のベクトル空間とみなすことができます。このベクトル空間の次元は体拡大の次数と呼ばれ、[ E : F ]と表されます。

次数は有限または無限であり、それに応じて体は有限拡大または無限拡大と呼ばれます。拡大E / Fは、有限拡大である場合は単に有限であると言われることもあります。これは、体自体が有限体(有限個の元を持つ体) であることと混同しないでください。

次数を体の超越次数と混同しないでください。たとえば、有理関数の体Q ( X ) はQに対して無限次数を持ちますが、超越次数は 1 に等しくなります。

塔状に配置された 3 つの体( Lのサブ体K 、さらにMのサブ体) が与えられた場合、 3 つの拡張L / K、M / L、およびM / Kの次数の間には単純な関係があります。

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

言い換えれば、「下」から「上」の体への次数は、「下」から「中間」への次数と、「中間」から「上」への次数の積に過ぎません。これは、群の順序を部分群の順序と指数に関連付ける群論におけるラグランジュの定理と非常に類似しています。実際、ガロア理論は、この類似性が単なる偶然ではないことを示しています。

この式は有限次数と無限次数の両方の拡張に当てはまります。無限次数の場合、積は基数の積の意味で解釈されます。特に、M / Kが有限の場合、M / LとL / K は両方とも有限であることを意味します。

M / Kが有限である場合、式は、単純な算術的考慮により、 MとK の間に発生するフィールドの種類に強い制限を課します。たとえば、次数 [ M : K ] が素数 pである場合、任意の中間フィールドLについて、次の 2 つのいずれかが起こります。 [ M : L ] = pかつ [ L : K ] = 1 の場合 (この場合、L はKに等しい)、または [ M : L ] = 1 かつ [ L : K ] = pの場合 (この場合、 L はMに等しい)。したがって、中間フィールドは存在しません ( MとK自体を除く)。

K、L、Mが上記の次数公式のように体の塔を形成し、d = [ L : K ] とe = [ M : L ] が両方とも有限であると仮定します。これは、 L 上の K に対して基底 { u 1 、 ...、 u d } を選択し、 M 上の L に対して基底 { w 1 、 ...、 w e } を選択できることを意味します。m_が1 、₂、... 、 dの範囲_で、n_が1 、 2、 ...、 e の範囲であるとき、元u m w nがM / K_の基底_を形成することを示します。それらの数はちょうどdeなので、これはM / Kの次元がdeであることを証明し、これが望ましい結果です。

まず、それらがM / Kを張る かどうかを確認します。x がMの任意の要素である場合、w _{n は}L上のMの基底を形成するため、 L内の要素a _{n を}見つけることができ、

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}$

そして、u _{m は}K上のLの基底を形成するので、各nに対して、 K内の元b _{m , n を}見つけることができる。

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}$

そして、Mにおける分配法則と乗法 の結合法則を用いると、

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}$

これは、x がKからの係数を持つu _m w _nの線形結合であることを示しています。言い換えると、それらはK上でMに張ります。

次に、 Kに対して線形独立であることを確認する必要があります。

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}$

Kの係数b _{m , n}について。分配法則と結合法則を再び用いると、項を次のようにグループ化できる。

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},}$

そして括弧内の項はLの要素であり、w _{n は}Lに対して線形独立であるため、ゼロでなければならないことがわかります。つまり、

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}$

各nに対して。すると、係数b _{m、n は}Kに含まれ、u _{m は}Kに対して線形独立なので、すべてのmとすべてのnに対してb _m、n = 0が成立する必要があります。これは、要素u _m w _nがKに対して線形独立であることを示しています。これで証明は終了です。

この場合、L / KとM / Lの基底u _αとw _βから始めます。ここで、 α はインデックス セットAから取得され、 β はインデックス セットBから取得されます。上記とまったく同様の議論を使用して、積u _α w _{β が}M / Kの基底を形成することがわかります。これらは、定義によりAとBの基数の積に等しい基数を持つ直積A × Bによってインデックス付けされます。

• 複素数は、次数 [ C : R ] = 2 の実数上の体拡張であり、したがって、それらの間には非自明な体は存在しません。
• √ 2と√ 3 を有理数体Qに付加して得られる体拡大Q ( √ 2 , √ 3 )は次数が 4 で、[ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ] = 4 です。中間体Q ( √ 2 ) はQ上で次数が 2 です。乗法公式から、[ Q ( √ 2 , √ 3 ): Q ( √ 2 )] = 4/2 = 2と結論付けられます。
• 有限体（ガロア体）GF（125）= GF（5 ³）は、その部分体GF（5）上で次数3である。より一般的には、pが素数でn、mが正の整数（nはmを割り切れる）の場合、[ GF（p ^m）：GF（p ⁿ）] = m / nとなる。
• 体拡大C ( T )/ C（ここでC ( T ) はC上の有理関数体）は無限次数を持ちます（実際、これは純粋に超越的な拡大です）。これは、元 1、 T、T ²などがC上で線型独立であることを観察することでわかります。
• 体拡大C ( T ^{2 ) も}C上で無限次数を持ちます。しかし、C ( T ^{2 ) を}C ( T )のサブ体と見なすと、実際には [ C ( T ): C ( T ² )] = 2 となります。より一般的には、XとY が体K上の代数曲線であり、F  : X → Y がそれらの間の次数dの射影写像である場合、関数体K ( X ) とK ( Y ) はどちらもK上で無限次数ですが、次数 [ K ( X ): K ( Y )] はdに等しくなります。

2 つの分割環 EとFがあり、 FがEに含まれ、 Fの乗算と加算がEにおける演算の制約である場合、 E をF上のベクトル空間として考えるには、2 つの方法があります。1 つはスカラーを左側に作用させて次元 [ E : F ] _lとし、もう 1 つは右側に作用させて次元 [ E : F ] _rとすることです。2 つの次元は一致する必要はありません。ただし、両方の次元は分割環の塔の乗算公式を満たします。上記の証明は、左側に作用するスカラーにそのまま適用されます。

• 215ページ、Jacobson, N. (1985)。Basic Algebra I。WH Freeman and Company。ISBN 0-7167-1480-9。乗法公式の証明。
• 465ページ、Jacobson, N. (1989)。Basic Algebra II。WH Freeman and Company。ISBN 0-7167-1933-9。無限次元の場合について簡単に説明します。