リース関数

数学において、リース関数は、マルセル・リースがリーマン予想に関連して冪級数を用いて定義した整関数である。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left({\frac {-x}{n^{2}}}\right).}$

設定すると${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {リース}}(4\pi ^{2}x)}$双曲線（または等価的に通常の）コタンジェントのゼロ周りのローラン級数展開の係数で定義することができます。

$\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }$

それから${\displaystyle F}$次のように定義できる

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }$

値${\displaystyle \zeta (2k)}$k を増加させるアプローチ 1 と、リース関数の級数とを比較する${\displaystyle x\exp(-x)}$これは、関数全体を定義していることを示しています。あるいは、F は次のように定義することもできます。

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}.\ }$

${\displaystyle n^{\overline {k}}}$は、DE Knuthの表記法における上昇階乗を表し、その数は${\displaystyle B_{n}}$はベルヌーイ数である。この級数は交代項の級数であり、 の値が負になるほど、関数は急速にマイナス無限大に近づく。${\displaystyle x}$. 正の値${\displaystyle x}$より興味深く、繊細だ。

リース関数は積分方程式を満たす${\displaystyle 1-\exp(-x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lfloor {\sqrt {x/t}}\rfloor }{t}}{\text{リース}}(t)\,dt}$

次のように証明できる。

${\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )}$

任意の指数に対して${\displaystyle e}$より大きい${\displaystyle 1/2}$ここで、これはビッグオー記法であり、正負両方の値をとります。リースは、リーマン予想は、上記がより大きい任意のeに対して真であるという主張と同等であることを示しました。${\displaystyle 1/4}$。^{[ 1 ]}同じ論文で、彼は少し悲観的なメモも追加しました: « Je ne sais pas encore duer si cettecondition facilitera la verification de l'hypothèse » (「この条件が仮説の検証を容易にするかどうかはまだ判断できません」)。

リース関数は、メリン変換を介してリーマンゼータ関数と関連付けられています。

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

我々は、もし${\displaystyle \Re (s)>-1}$それから

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {リース}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

収束するが、成長条件から、${\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}}$それから

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {リース}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

収束する。これらをまとめると、リース関数のメリン変換はストリップ上で定義されることがわかる。${\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}}$この帯状領域では、(ラマヌジャンのマスター定理を参照)${\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))}$

逆メリン変換から、リース関数の式を次のように得る。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds}$

ここで、c はマイナス 1 からマイナス 1/2 の間の値です。リーマン予想が正しい場合、積分線をマイナス 1/4 未満の任意の値に移動できるため、リース関数の 4 乗根の成長率とリーマン予想との等価性が得られます。

マクローリン級数の係数${\displaystyle F}$絶対値が増加し、40 番目の項で最大値に達します。${\displaystyle -1.753\times 10^{17}}$109番目の項までに、絶対値は1を下回ります。最初の1000項を取るだけで、非常に正確な値が得られます。${\displaystyle F(z)}$のために${\displaystyle |z|<9}$しかし、これには、次数1000の多項式を、大きな分子または分母の係数を用いた有理数演算、あるいは100桁を超える浮動小数点演算を用いて評価する必要がある。別の方法としては、上記で定義した逆メリン変換を用いて数値積分を行う方法がある。どちらの方法も計算が容易ではない。

別のアプローチとしては、収束の加速を利用する方法があります。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.}$

以来${\displaystyle \zeta (2k)}$kが大きくなるにつれて、この級数の項は1に近づきます。

$\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)}$実際、リースは次のように述べている。$\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(x/n^{2})=x\exp(-x)}.}$

クンマー法を用いて収束を加速すると、

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}$

収束速度が向上しました。

このプロセスを続けると、収束特性がはるかに優れたリース関数の新しい級数が得られます。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}$

ここ${\displaystyle \mu }$はメビウス関数であり、項の並べ替えは絶対収束によって正当化される。ここで再びクンマーの方法を適用し、次のように書くことができる。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}$

その項は最終的に、の4乗の逆数として減少する。${\displaystyle n}$。

上記の級数は至るところで絶対収束するため、項ごとに微分することができ、リース関数の導関数は次の式で表されます。

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)}$

これは次のように並べ替えることができます

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}$

Marek Wolfは^{[ 2 ]}で、リーマン予想を仮定して、大きな値に対して${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)\sim Kx^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right)}$

どこ${\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...}$は、ゼータ関数の最初の非自明な零点の虚数部であり、${\displaystyle K=7.7750627...\times 10^{-5}}$そして${\displaystyle \phi =-0.54916...=-31,46447^{\circ }}$これは、1964年にハーバート・ウィルフによって証明されたリース関数の零点に関する一般的な定理と一致します。^{[ 3 ]}

0から50までの範囲のグラフを上に示します。このグラフを見る限り、急速な成長は示されておらず、リーマン予想の正しさを裏付けるものと言えるでしょう。

GH HardyとJE Littlewood ^{[ 4 ] [ 5 ]}は、同様の方法で、リーマン予想は任意の指数に対して次のことが成り立つという主張と同等であることを証明しました。${\displaystyle e}$より大きい${\displaystyle -1/4}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\zeta (2k+1)}}=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty ).}$

• Titchmarsh, EC、『リーマンゼータ関数の理論』、第2版改訂版（Heath-Brown版）、Oxford University Press、1986年、[第14.32節 ]