リウヴィル関数

リウヴィルのラムダ関数は、ジョセフ・リウヴィルにちなんで名付けられ、 λ( n )と表記される重要な算術関数です。その値は、 nが偶数個の素数の積の場合には+1、奇数個の素数の積の場合には -1になります。

明示的には、算術の基本定理は、任意の正の整数 n は素数の累乗の積として一意に表すことができると述べています。n = p ₁ ^{a ₁} ⋯ p _k ^{a _k}、ここで p ₁ < p ₂ < ... < p _kは素数で、a _{j は}正の整数です。 （1は空の積で与えられます。）素数オメガ関数 は、重複度 ( Ω ) または重複度 ( ω )のない素数の数を数えます。

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}.}$

λ( n )は式で定義される 。

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

（OEISの配列A008836）。

Ω( n )は完全に加法的なので、 λは完全に乗法的です。つまり、Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b )です。1 には素因数がないので、Ω(1) = 0となり、λ(1) = 1 となります。

これはメビウス関数 μ( n )と関係があります。nをn = a ² bと書きます。ここでbは平方根のない関数、すなわちω( b ) = Ω( b )です。すると

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

nの約数にわたるリウヴィル関数の和は、平方の特性関数です。

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{n{\text{が完全な平方数の場合、}}\\0&{\text{それ以外の場合。}}\end{cases}}}$

この式の メビウス反転は

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

リウヴィル関数のディリクレ逆関数は、平方整数の特性関数であるメビウス関数λ ^–1 ( n ) = |μ( n )| = μ ² ( n )の絶対値です。また、 λ( n ) = μ ² ( n )でもあります。

リウヴィル関数のディリクレ級数はリーマンゼータ関数と次の式で 結びついている。

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}.}$

また：

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

リウヴィル関数の ランバート級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

ここで、ヤコビのシータ関数です。 ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

ポリア問題は、1919年にジョージ・ポリアによって提起された問題である。定義

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$（OEISの配列A002819）、

問題は、n > 1の場合かどうかを問うている 。答えはノーであることが判明した。最小の反例はn  = 906150257 で、1980 年に田中実によって発見された。それ以来、無限個の正の整数nに対してL ( n ) > 0.0618672 √ nであることが示された。^[1]一方、同じ方法で、無限個の正の整数nに対してL ( n ) < -1.3892783 √ nであることが示される。^[2]${\displaystyle L(n)\leq 0}$

任意の に対して、リーマン予想を仮定すると、総和関数は次のように制限される。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

ここで は絶対的な限界定数である。^[2]${\displaystyle C>0}$

関連する合計を定義する

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

十分に大きいn ≥ n _{0に対して}T ( n ) ≥ 0 であるかどうかは、しばらくの間未解決であった(この予想は、誤ってはいるが、パル・トゥランによるものとされることがある)。これはその後、 T ( n ) が負の値を無限に頻繁に取ることを示して、ハゼルグローブ (1958) によって反証された。この正値性予想の確認は、パル・トゥランによって示されたように、リーマン予想の証明につながるはずであった。

より一般的には、任意の正の整数xに対して次のように定義されるリウヴィル関数上の重み付き総和関数を考えることができる。ここで（上記のように）特別な場合があり、^[2]${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

これらの重み付き総和関数は、メルテンス関数、またはメビウス関数の重み付き総和関数に関連しています。実際、いわゆる非重み付き、または通常の関数は、正確に総和に対応しています 。${\displaystyle \alpha^{-1}}$${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

さらに、これらの関数は同様の境界漸近関係を満たす。^[2]例えば、 のときは常に、絶対定数が存在し、 ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

ペロンの公式、または同等のキー（逆）メリン変換を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

これを逆変換すると、に対してとなり、${\displaystyle x>1}$${\displaystyle T\geq 1}$${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

ここで、 を取ることができ、剰余項はおよび となるように定義されます。 ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

特に、 リーマン予想（RH）が真であり、リーマンゼータ関数ので表されるすべての非自明な零点が単純であると仮定すると、任意の および に対して、任意の vに対してを満たすの無限列が存在し、${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

ここで、任意の小さくなるごとに定義する ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

そして剰余項

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

これは当然、のとき0に近づきます。これらの厳密な解析式の展開は、重み付きメルテンス関数の場合に対応するものと類似した特性を共有します。さらに、の形式では別の類似点があるため、前の式の主要な項は、正の自然数xに対してこれらの関数の値に負のバイアスがあることを予測します。 ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$${\displaystyle M(x)}$

• ポーリャ、G. (1919)。 「Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。28：31～40。
• Haselgrove, C. Brian (1958). 「ポリア予想の反証」. Mathematika . 5 (2): 141–145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
• Lehman, R. (1960). 「リウヴィル関数について」.計算数学. 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR  0120198.
• 田中実 (1980). 「リウヴィル関数の累積和に関する数値的研究」東京数学ジャーナル. 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.
• ワイスタイン、エリック・W.「リウヴィル関数」。マスワールド。
• AF Lavrik (2001) [1994]、「リウヴィル関数」、数学百科事典、EMS Press