ゼロと極

複素解析（数学の一分野）において、極とは、複素変数の複素数値関数の特定の種類の特異点です。極は、そのような関数の除去不可能な特異点の最も単純な種類です（本質的特異点を参照）。技術的には、点z _{0 が}関数fの極であるとは、それが関数1/ fの零点であり、1/ f がz ₀の何らかの近傍で正則（つまり、複素微分可能）である場合です。

関数f が開集合Uにおいて有理型であるとは、 Uの任意の点zに対して、少なくともfと1/ fの 1 つが正則となるzの近傍が存在する場合をいいます。

f がUで有理型である場合、 fの零点は1/ fの極であり、fの極は1/ fの零点です。これにより零点と極の双対性が誘導され、これは有理型関数の研究の基本となります。たとえば、関数が複素平面全体と無限遠点上で有理型である場合、その極の重複度の合計は零点の重複度の合計に等しくなります。

複素変数 zの関数が開領域Uで正則であるとは、 Uのどの点においてもzに関して微分可能であることを意味します。同様に、関数が解析的である場合、つまりそのテイラー級数がUのどの点においても存在し、その点の近傍で関数に収束する場合、関数は正則であるといえます。関数がUで有理型であるとは、 Uのどの点においても近傍が存在し、 fと1/ fの少なくとも 1 つがその中で正則であることを意味します。

有理型関数fの零点は、 f ( z ) = 0となる複素数zです。fの極は、 1/ fの零点です。

fが複素平面上の点の近傍で有理型関数である場合、整数nが存在し、 ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle (z-z_{0})^{n}f(z)}$

は正則かつ の近傍で非ゼロです(これは解析的性質の結果です)。n > 0の場合、 はfのn次(または重複度)の極です。n < 0の場合、 はfの次数の零点です。単純零点と単純極は、次数の零点と極を表す用語です。次数は、次数と同義語として使用されることがあります。 ${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle |n|}$${\displaystyle |n|=1.}$

零点と極のこの特徴付けは、零点と極が孤立している、つまり、すべての零点または極には他の零点と極を含まない近傍があることを意味します。

零点と極の順序は非負数nとして定義され、それらの間の対称性があるため、 n次の極を– n次の零点として、 n次の零点を– n次の極として考えると便利な場合がよくあります。この場合、極でも零点でもない点は、 0 次極 (または零点) として扱われます。

有理型関数は、無限に多くの零点と極を持つことができます。これはガンマ関数の場合です(情報ボックスの画像を参照)。ガンマ関数は複素平面全体で有理型であり、すべての非正の整数に単純な極を持ちます。リーマン ゼータ関数も複素平面全体で有理型であり、 z = 1に 1 次極が 1 つあります。左半平面の零点はすべて負の偶数であり、リーマン予想は、他のすべての零点がRe( z ) = 1/2に沿っているという推測です。

ある点の近傍において、非ゼロ有理型関数f は、最大でも有限の主成分（負の指数値を持つ項） を持つローラン級数の和である。${\displaystyle z_{0},}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},}$

ここでn は整数であり、また、n > 0 (和が で始まり、主項がn項である) の場合、 n次数の極があり、n ≤ 0 (和が で始まり、主項がない) の場合、 次数の零点があります。 ${\displaystyle a_{-n}\neq 0.}$${\displaystyle a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}}$${\displaystyle a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}}$${\displaystyle |n|}$

関数が無限遠で有理型であるとは、関数が無限遠のある近傍（つまりある円板の外側）で有理型であり、かつ 整数nが存在して${\displaystyle z\mapsto f(z)}$

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}}$

存在し、ゼロ以外の複素数です。

この場合、無限遠点は、 n > 0の場合はn次極となり、n < 0の場合は次零点となります。 ${\displaystyle |n|}$

たとえば、n次多項式には無限遠にn次極があります。

無限遠点によって拡張された複素平面はリーマン球面と呼ばれます。

fがリーマン球面全体上で有理型関数である場合、その関数には有限個の零点と極があり、その極の位数の合計は零点の位数の合計に等しくなります。

すべての有理関数はリーマン球面全体上で有理型であり、この場合、零点または極の次数の合計は分子と分母の次数の最大値になります。

• 機能

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

はリーマン球面全体にわたって有理型である。 に 1 次極または単純な極を持ち、無限遠に単純な零点を持つ。${\displaystyle z=0,}$

• 機能

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

はリーマン球面全体にわたって有理型である。 には 2 次極があり、 には 3 次極がある。 には単純零点があり、無限遠には四重零点がある。${\displaystyle z=5,}$${\displaystyle z=-7}$${\displaystyle z=-2,}$

• 機能

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

は複素平面全体で有理型であるが、無限遠ではそうではない。 に 1 次の極を持つ。これは、原点の周りで のテイラー級数を書くことでわかる。${\displaystyle z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle e^{z}}$

• 機能

${\displaystyle f(z)=z}$

無限遠に 1 次極が 1 つ、原点に 1 つの零点があります。

3番目を除く上記の例はすべて有理関数です。このような関数の零点と極の一般的な説明については、極零点プロット§連続時間システムを参照してください。

零点と極の概念は、複素曲線、つまり（複素数上の）次元 1 の複素解析多様体上の関数に自然に拡張されます。このような曲線の最も単純な例は、複素平面とリーマン面です。この拡張は、解析同型であるチャートを介して構造とプロパティを転送することによって行われます。

より正確には、f を複素曲線Mから複素数への関数とします。この関数がMの点zの近傍で正則（または有理型）であるとは、グラフが の近傍で正則（または有理型）であるときです。次に、z は n次極または零点であるとは、次の式が成り立つときです。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}}$${\displaystyle \phi (z).}$${\displaystyle \phi (z).}$

曲線がコンパクトで、関数f が曲線全体で有理型である場合、零点と極の数は有限であり、極の次数の合計は零点の次数の合計に等しくなります。これは、リーマン・ロッホの定理に含まれる基本的な事実の 1 つです。

• 議論の原則
• 制御理論 § 安定性
• フィルター設計
• フィルタ（信号処理）
• ガウス・ルーカスの定理
• フルヴィッツの定理（複素解析）
• マーデンの定理
• ナイキスト安定基準
• 極零点プロット
• 残差（複素解析）
• ルーシェの定理
• センドフの予想

• コンウェイ、ジョン B. (1986)。『1つの複素変数の関数 I』。シュプリンガー。ISBN 0-387-90328-3。
• コンウェイ、ジョン B. (1995)。『1つの複素変数の関数 II』。シュプリンガー。ISBN 0-387-94460-5。
• ヘンリシ、ピーター(1974)。応用および計算複素解析 1。ジョンワイリー アンド サンズ。

• ワイスタイン、エリック W.「ポール」。MathWorld。