除数関数

数学、特に数論において、約数関数（よんすうかんげん、英: divisor function）は、整数の約数に関連する算術関数である。約数関数と呼ばれる場合、それは整数の約数（1 とその数自身を含む）の数を数える。それは、リーマンのゼータ関数やアイゼンシュタイン級数のモジュラー形式における関係など、多くの注目すべき恒等式に現れる。約数関数はラマヌジャンによって研究され、彼は多くの重要な合同式や恒等式を与えた。これらはラマヌジャンの和の記事で別途扱われている。

関連する関数として、除数加算関数があります。これは、名前が示すように、除数関数の合計です。

実数または複素数zに対する正の約数の合計関数σ z ₍ n )は、 nの正の約数のz乗の合計として定義されます。これはシグマ表記で次のように 表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

ここで、 は「d はn で割り切れる」の省略形です。 d ( n )、 ν( n )、 τ( n ) （ドイツ語のTeiler = 約数）という表記は、 σ ₀ ( n ) または約数関数^{[1] [2]}（OEIS : A000005 ）を表すのにも使用されます。zが 1 のとき、この関数はシグマ関数または約数和関数^{[1] [3]}と呼ばれ、添え字は省略されることが多いため、 σ( n ) は σ ₁ ( n ) （OEIS : A000203）と同じです。 ${\displaystyle {d\mid n}}$

nのアリコート和 s ( n ) は、真約数（つまり、n自身を除く約数、OEIS : A001065 ）の合計であり、 σ ₁ ( n ) −  nに等しい。nのアリコートシーケンスは、アリコート和関数を繰り返し適用することによって形成されます。

例えば、σ ₀ (12) は12の約数の数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

σ ₁ (12) はすべての約数の合計です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

そして真約数の約数和s(12)は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ _-1 ( n ) はnの豊富さ指数と呼ばれることもあり、次の式で表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

x = 2 から 5 のケースはOEIS : A001157からOEIS : A001160に記載されており、x = 6 から 24 のケースはOEIS : A013954からOEIS : A013972に記載されています。

素数 pに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

定義により、素数の因数は1とそれ自身である。また、p _n # は原始数を表す。

${\displaystyle \sigma_{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

n個の素因数により、形成される各真約数に対してn個の項から 2 進数 ( または 1 )を選択するシーケンスが可能になるからです。ただし、これらは一般に約数の数が2 の累乗である最小の数ではありません。代わりに、そのような最小の数は、指数が 2 の累乗である最初のn個のフェルミ–ディラック素数を掛け合わせることで得られます。 ^[4]${\displaystyle p_{i}}$

明らかに、すべての に対して であり、すべての に対してです 。${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \sigma _{x}(n)>n}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle x>0}$

除数関数は乗法関数です（積mnの各除数c はmの除数aとnの除数bに明確に対応するため）が、完全に乗法ではありません。 ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$

この結果、次のように書くと、

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

ここで、r =  ω  ( n )はnの異なる素因数の数、pi_はi番目の素因数、ai_はnを割り切れるpiの最大べき乗である。すると、次式が得られる。^[5]

${\displaystyle \sigma_{x}(n)=\prod_{i=1}^{r}\sum_{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod_{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$

これはx  ≠0のとき、次の式と等価である: ^[5]

${\displaystyle \sigma_{x}(n)=\prod_{i=1}^{r}{\frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$

x  = 0のとき、次の式となる: ^[5]${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$

${\displaystyle \sigma_{0}(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

この結果は、 のすべての約数が の異なる整数の組によって一意に決定される（つまり、各 の独立した選択） という事実から直接推測できます。${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})}$${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq a_{i}}$${\displaystyle a_{i}+1}$${\displaystyle x_{i}}$

たとえば、nが 24 の場合、素因数は 2 つあります ( p ₁は 2、p ₂^{は 3)。24 は 2 3} ×3 ¹の積であり、a ₁は 3、a ₂は 1 です。したがって、次のように計算できます。 ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma_{0}(24)=\prod_{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$

この式で数えられる 8 つの約数は、1、2、4、8、3、6、12、および 24 です。

オイラーは驚くべき再発を証明した: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$

ここで、に対してが発生し、 およびが連続する一般化五角数( OEIS : A001318 、オフセット 1 から始まる)のペアである場合。実際、オイラーは五角数定理における恒等式の対数微分によってこれを証明しました。 ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$

非平方整数nの場合、 nのすべての約数dはnの約数n / dと対になっていて偶数です。平方整数の場合、1つの約数（つまり）は異なる約数と対になっていないため奇数です。同様に、数が奇数となるのは、 nが平方数または平方数の2倍の場合のみです。 ^[9]${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$

また、 s ( n ) = σ ( n ) −  nであることにも留意します。ここで、s ( n ) はnの真約数、つまりn自身を除くnの約数の合計を表します。この関数は、s ( n ) =  nとなるnである完全数を認識するために使用されます。 s ( n ) > n の場合、 nは過剰数であり、 s ( n ) < nの場合、n は不足数です。

n が2 の累乗である場合、となり、n はほぼ完全 になります。 ${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$${\displaystyle s(n)=n-1}$

例えば、2つの素数 に対して、 ${\displaystyle p,q:p<q}$

${\displaystyle n=p\,q}$。

それから

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

そして

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

ここで、 はオイラーのトーティエント関数です。 ${\displaystyle \varphi (n)}$

そして、

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$

pとq をσ ( n ) とφ ( n )のみで表すと、 nやの知識は必要なくなります。 ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

また、nと または、あるいはと または のいずれかがわかっていると、pとq を簡単に復元できます。 ${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle p+q}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$

1984年、ロジャー・ヒース・ブラウンは、

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

nの値が無限にある場合に当てはまります。OEIS :A005237を参照してください。

除数関数を含む2つのディリクレ級数は次の通りである: ^[10]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$

ここで はリーマンゼータ関数である。d ( n ) =  σ ₀ ( n )の級数は次式で表される: ^[10]${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$

ラマヌジャン恒等式[ ^11]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

これはRankin–Selberg 畳み込みの特殊なケースです。

除数関数を含むランバート級数は以下である: ^[12]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

任意の複素数| q | ≤ 1および aに対して。この和は、アイゼンシュタイン級数のフーリエ級数やワイエルシュトラスの楕円関数の不変量としても現れます。

に対して、ラマヌジャン和による明示的な級数表現が存在する：^[13]${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

の最初の項を計算すると、「平均値」の周りで振動していることがわかります。 ${\displaystyle c_{m}(n)}$${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

小文字O記法では、除数関数は不等式を満たす：^{[14] [15]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

より正確には、セヴェリン・ヴィゲルトは次のことを示しました。^[15]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

一方、素数は無限に存在するので、^[15]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

ビッグオー記法では、ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、除数関数の平均位数が次の不等式を満たすことを示した。 ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

ここで、 はオイラーのガンマ定数です。この式の上界を改善することは、ディリクレの約数問題として知られています。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

シグマ関数の挙動は不規則である。シグマ関数の漸近的成長率は次のように表される。^[18]

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

ここで、lim sup は、上限 supです。この結果は、1913 年に発表されたGrönwallの定理です (Grönwall 1913)。彼の証明には、次のようなMertens の第 3 定理が使用されています。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

ここでpは素数を表します。

1915年、ラマヌジャンはリーマン予想の仮定の下でロビンの不等式が 成り立つことを証明した。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$（ここでγはオイラー・マスケロニ定数）

十分に大きいnすべてに対して不等式が成り立つ(Ramanujan 1997)。不等式に違反する既知の最大の値はn = 5040である。1984 年に Guy Robin は、不等式がn > 5040すべてに対して成立するのは、リーマン予想が成立する場合に限ることを証明した (Robin 1984)。これがRobin の定理であり、不等式は彼の後に知られるようになった。Robin はさらに、リーマン予想が偽であれば不等式に違反するnの値が無限に存在することを示し、そのようなn > 5040 の最小の値は過剰でなければならないことが知られている (Akbary & Friggstad 2009)。不等式は大きな奇数および平方数でない整数に対して成立すること、およびリーマン予想はn が素数の 5 乗で割り切れる場合のみ不等式と同等であることが示されている (Choie et al. 2007)。

ロビンはまた、次の不等式を無条件に証明しました。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

n ≥ 3のすべての場合に成立します。

関連する境界は2002 年にJeffrey Lagariasによって与えられ、彼はリーマン予想が次の命題と同等であることを証明しました。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

すべての自然数 n > 1に対して、 はn番目の調和数です(Lagarias 2002)。 ${\displaystyle H_{n}}$

• 除数和畳み込み、除数関数を含むいくつかの恒等式を列挙する
• オイラーのトーティエント関数、オイラーのファイ関数
• リファクタリング可能な数
• 約数表
• 単位約数

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